Номер 10, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (3) Рассмотрим функцию $y=f(x)$, где $f(x)=3\text{sign}(x-2)$.

а) Постройте график функции. Найдите область определения функции и множество ее значений.

б) Определите $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

в) Определите $\lim_{x \to 2+0} f(x)$, $\lim_{x \to 2-0} f(x)$.

г) Существует ли $\lim_{x \to 2} f(x)$?

а) Рассмотрим функцию $y = f(x)$, где $f(x) = 3\operatorname{sign}(x-2)$. Функция "сигнум" ($\operatorname{sign}(t)$) по определению равна:
$\operatorname{sign}(t) = \begin{cases} 1, & \text{если } t > 0 \\ 0, & \text{если } t = 0 \\ -1, & \text{если } t < 0 \end{cases}$
В нашем случае аргументом функции сигнум является $t = x-2$. Тогда функцию $f(x)$ можно представить в кусочно-заданном виде, проанализировав знак выражения $x-2$:
1. Если $x-2 > 0$, то есть $x > 2$, то $f(x) = 3 \cdot 1 = 3$.
2. Если $x-2 = 0$, то есть $x = 2$, то $f(x) = 3 \cdot 0 = 0$.
3. Если $x-2 < 0$, то есть $x < 2$, то $f(x) = 3 \cdot (-1) = -3$.
Таким образом, функция имеет вид: $f(x) = \begin{cases} 3, & \text{если } x > 2 \\ 0, & \text{если } x = 2 \\ -3, & \text{если } x < 2 \end{cases}$.
График функции состоит из двух горизонтальных лучей и одной изолированной точки.
- Луч $y=3$ для $x \in (2, +\infty)$. Точка $(2, 3)$ является выколотой (не принадлежит графику).
- Луч $y=-3$ для $x \in (-\infty, 2)$. Точка $(2, -3)$ является выколотой.
- Изолированная точка $(2, 0)$.
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Функция $f(x) = 3\operatorname{sign}(x-2)$ определена для всех действительных чисел $x$, так как выражение $x-2$ определено для любого $x$.
Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений функции — это множество всех значений, которые может принимать функция $f(x)$. Из кусочного задания функции видно, что она принимает только три значения: -3, 0 и 3.
Множество значений: $E(f) = \{-3, 0, 3\}$.
Ответ: График функции представляет собой два луча $y=3$ при $x>2$ и $y=-3$ при $x<2$ с выколотыми точками $(2,3)$ и $(2,-3)$, и точку $(2,0)$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений $E(f) = \{-3, 0, 3\}$.

б) Определим пределы функции на бесконечности.
1. Предел при $x \to +\infty$:
Когда $x$ стремится к $+\infty$, $x$ принимает значения, которые больше 2. Для $x > 2$ значение функции постоянно и равно $f(x)=3$.
Следовательно, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} 3 = 3$.
2. Предел при $x \to -\infty$:
Когда $x$ стремится к $-\infty$, $x$ принимает значения, которые меньше 2. Для $x < 2$ значение функции постоянно и равно $f(x)=-3$.
Следовательно, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (-3) = -3$.
Ответ: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -3$.

в) Определим односторонние пределы функции в точке $x=2$.
1. Правосторонний предел (когда $x$ стремится к 2 справа, $x \to 2+0$):
В этом случае $x$ принимает значения, близкие к 2, но большие 2 ($x > 2$). Для таких $x$ значение функции $f(x)=3$.
Следовательно, правосторонний предел равен $\lim_{x \to 2+0} f(x) = \lim_{x \to 2+0} 3 = 3$.
2. Левосторонний предел (когда $x$ стремится к 2 слева, $x \to 2-0$):
В этом случае $x$ принимает значения, близкие к 2, но меньшие 2 ($x < 2$). Для таких $x$ значение функции $f(x)=-3$.
Следовательно, левосторонний предел равен $\lim_{x \to 2-0} f(x) = \lim_{x \to 2-0} (-3) = -3$.
Ответ: $\lim_{x \to 2+0} f(x) = 3$, $\lim_{x \to 2-0} f(x) = -3$.

г) Выясним, существует ли предел функции в точке $x=2$.
Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны между собой её односторонние пределы (левый и правый) в этой точке.
Из пункта в) мы получили:
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 2+0} f(x) = 3$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 2-0} f(x) = -3$.
Поскольку $3 \neq -3$, односторонние пределы в точке $x=2$ не равны.
Это означает, что функция имеет в точке $x=2$ разрыв первого рода (скачок), и предел в этой точке не существует.
Ответ: Нет, предел $\lim_{x \to 2} f(x)$ не существует.