Номер 2, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (1) Вычислите значения пределов:

а) $\lim_{x \to \infty} \frac{-3x - 5}{7x^2 + 1}$;

б) $\lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2 + 10x + 7}{7x^2 + 1}$;

в) $\lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2 + 100000000x}{7x^2 + 1}$,

г) $\lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + bx + c}{a_1x^2 + b_1x + c_1}$.

Сформулируйте общее утверждение.

а) $\lim_{x \to \infty} \frac{-3x - 5}{7x^2 + 1}$

• Разделим числитель и знаменатель на $x^2$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{3}{x} - \frac{5}{x^2}}{7 + \frac{1}{x^2}}$$
• Так как при $x \to \infty$ величины $\frac{3}{x}, \frac{5}{x^2}, \frac{1}{x^2}$ стремятся к 0, получаем: $$\frac{0 - 0}{7 + 0} = \frac{0}{7} = 0$$

Ответ: 0.

б) $\lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2 + 10x + 7}{7x^2 + 1}$

• Разделим числитель и знаменатель на $x^2$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{10}{x} + \frac{7}{x^2}}{7 + \frac{1}{x^2}}$$
• Слагаемые с $x$ в знаменателе стремятся к 0: $$\frac{-3 + 0 + 0}{7 + 0} = -\frac{3}{7}$$

Ответ: -3/7.

в) $\lim_{x \to \infty} \frac{-3x^3 + 100000000x}{7x^2 + 1}$

• Разделим числитель и знаменатель на $x^2$ (наивысшая степень знаменателя): $$\lim_{x \to \infty} \frac{-3x + \frac{100000000}{x}}{7 + \frac{1}{x^2}}$$
• Числитель неограниченно растет по абсолютной величине (стремится к $-\infty$), а знаменатель стремится к 7.
• Следовательно, предел равен $-\infty$.

Ответ: $-\infty$.

г) $\lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + bx + c}{a_1x^2 + b_1x + c_1}$

• Разделим на $x^2$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}}{a_1 + \frac{b_1}{x} + \frac{c_1}{x^2}} = \frac{a + 0 + 0}{a_1 + 0 + 0} = \frac{a}{a_1}$$

Ответ: $a/a_1$.

Общее утверждение

Предел отношения двух многочленов при $x \to \infty$ зависит от их степеней:

1. Если степень числителя меньше степени знаменателя, предел равен 0.
2. Если степени числителя и знаменателя равны, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.
3. Если степень числителя больше степени знаменателя, предел равен бесконечности ($\infty$ или $-\infty$).

Ответ: Предел определяется отношением старших членов многочленов.