Номер 2, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (1) Вычислите значения пределов:

а) $\lim_{x \to \infty} \frac{-3x - 5}{7x^2 + 1}$; б) $\lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2 + 10x + 7}{7x^2 + 1}$; в) $\lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2 + 100000000x}{7x^2 + 1}$,

г) $\lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + bx + c}{a_1x^2 + b_1x + c_1}$. Сформулируйте общее утверждение.

а) Чтобы найти предел отношения двух многочленов при $x \to \infty$, необходимо разделить числитель и знаменатель на самую высокую степень переменной $x$ в знаменателе. В данном случае это $x^2$.
$ \lim_{x \to \infty} \frac{-3x-5}{7x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-3x}{x^2}-\frac{5}{x^2}}{\frac{7x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{3}{x}-\frac{5}{x^2}}{7+\frac{1}{x^2}} $
Поскольку при $x \to \infty$ значения выражений, содержащих $x$ в знаменателе ($\frac{3}{x}$, $\frac{5}{x^2}$, $\frac{1}{x^2}$), стремятся к нулю, мы получаем:
$ \frac{0-0}{7+0} = \frac{0}{7} = 0 $
Ответ: 0

б) Здесь степени числителя и знаменателя равны. Применим тот же метод: разделим числитель и знаменатель на $x^2$.
$ \lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2+10x+7}{7x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-3x^2}{x^2}+\frac{10x}{x^2}+\frac{7}{x^2}}{\frac{7x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3+\frac{10}{x}+\frac{7}{x^2}}{7+\frac{1}{x^2}} $
При $x \to \infty$ дроби $\frac{10}{x}$, $\frac{7}{x^2}$ и $\frac{1}{x^2}$ стремятся к нулю. Таким образом, предел равен:
$ \frac{-3+0+0}{7+0} = -\frac{3}{7} $
Ответ: $-\frac{3}{7}$

в) Этот пример похож на предыдущий, несмотря на большой коэффициент при $x$. Метод решения остается прежним. Делим числитель и знаменатель на $x^2$.
$ \lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2+1000000000x}{7x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-3x^2}{x^2}+\frac{1000000000x}{x^2}}{\frac{7x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3+\frac{1000000000}{x}}{7+\frac{1}{x^2}} $
Так как $\frac{1000000000}{x} \to 0$ и $\frac{1}{x^2} \to 0$ при $x \to \infty$, получаем:
$ \frac{-3+0}{7+0} = -\frac{3}{7} $
Ответ: $-\frac{3}{7}$

г) Рассмотрим предел в общем виде для многочленов второй степени. Разделим числитель и знаменатель на $x^2$ (при условии, что $a_1 \neq 0$).
$ \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2+bx+c}{a_1x^2+b_1x+c_1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{ax^2}{x^2}+\frac{bx}{x^2}+\frac{c}{x^2}}{\frac{a_1x^2}{x^2}+\frac{b_1x}{x^2}+\frac{c_1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}}{a_1+\frac{b_1}{x}+\frac{c_1}{x^2}} $
Все слагаемые, содержащие $x$ в знаменателе, стремятся к нулю при $x \to \infty$. В результате получаем отношение коэффициентов при старших степенях:
$ \frac{a+0+0}{a_1+0+0} = \frac{a}{a_1} $
Ответ: $\frac{a}{a_1}$

Общее утверждение:
Предел отношения двух многочленов $P_n(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ и $Q_m(x) = b_m x^m + \dots + b_0$ (где $a_n \neq 0, b_m \neq 0$) при $x \to \infty$ зависит от соотношения их степеней $n$ и $m$:
1. Если степень числителя равна степени знаменателя ($n=m$), то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях: $ \lim_{x \to \infty} \frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = \frac{a_n}{b_m} $.
2. Если степень числителя меньше степени знаменателя ($n3. Если степень числителя больше степени знаменателя ($n>m$), то предел равен бесконечности ($ \infty $ или $ -\infty $). Знак бесконечности определяется знаками старших коэффициентов $a_n$ и $b_m$.