Номер 9, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. (1) Определите значения пределов:

a) $lim_{x \to \infty} \frac{2x+3}{x^2+5x+2};$

б) $lim_{x \to \infty} \frac{(2x+1)(3x-1)}{(x+2)(4x-1)};$

в) $lim_{x \to \infty} (\frac{1}{x} + \frac{5x+1}{3x+2});$

г) $lim_{x \to \infty} (\frac{2x-1}{3x} - \frac{5}{x^2}).$

а) Для нахождения предела рациональной функции при $x \to \infty$, когда степень числителя меньше степени знаменателя, предел равен нулю. В данном случае степень числителя равна 1 ($2x$), а степень знаменателя равна 2 ($x^2$). Чтобы показать это формально, разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной в знаменателе, то есть на $x^2$.
$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x+3}{x^2+5x+2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{x^2}+\frac{3}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{5x}{x^2}+\frac{2}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}{1+\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}} $
Поскольку при $x \to \infty$ все слагаемые вида $\frac{c}{x^n}$ (где $n > 0$) стремятся к нулю, получаем:
$ \frac{0+0}{1+0+0} = \frac{0}{1} = 0 $
Ответ: 0

б) Сначала раскроем скобки в числителе и знаменателе, чтобы определить старшие степени многочленов.
Числитель: $(2x+1)(3x-1) = 6x^2-2x+3x-1 = 6x^2+x-1$.
Знаменатель: $(x+2)(4x-1) = 4x^2-x+8x-2 = 4x^2+7x-2$.
Таким образом, предел принимает вид:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{6x^2+x-1}{4x^2+7x-2} $
Здесь старшие степени числителя и знаменателя равны (обе равны 2). В этом случае предел равен отношению коэффициентов при старших степенях. Для формального решения разделим числитель и знаменатель на $x^2$:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}-\frac{1}{x^2}}{\frac{4x^2}{x^2}+\frac{7x}{x^2}-\frac{2}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{4+\frac{7}{x}-\frac{2}{x^2}} $
Учитывая, что члены со знаменателем, содержащим $x$, стремятся к нулю при $x \to \infty$, получаем:
$ \frac{6+0-0}{4+0-0} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $
Ответ: $ \frac{3}{2} $

в) Используем свойство аддитивности предела (предел суммы равен сумме пределов):
$ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{x} + \frac{5x+1}{3x+2} \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \lim_{x \to \infty} \frac{5x+1}{3x+2} $
Вычислим каждый предел по отдельности:
1. $ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $
2. Для второго предела $ \lim_{x \to \infty} \frac{5x+1}{3x+2} $ степени числителя и знаменателя равны. Разделим числитель и знаменатель на $x$:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x}{x}+\frac{1}{x}}{\frac{3x}{x}+\frac{2}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{5+\frac{1}{x}}{3+\frac{2}{x}} = \frac{5+0}{3+0} = \frac{5}{3} $
Теперь сложим результаты:
$ 0 + \frac{5}{3} = \frac{5}{3} $
Ответ: $ \frac{5}{3} $

г) Используем свойство предела разности (предел разности равен разности пределов):
$ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x-1}{3x} - \frac{5}{x^2} \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x-1}{3x} - \lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^2} $
Вычислим каждый предел по отдельности:
1. Для первого предела $ \lim_{x \to \infty} \frac{2x-1}{3x} $ разделим числитель и знаменатель на $x$:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{x}-\frac{1}{x}}{\frac{3x}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2-\frac{1}{x}}{3} = \frac{2-0}{3} = \frac{2}{3} $
2. Второй предел: $ \lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^2} = 0 $
Теперь найдем разность результатов:
$ \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3} $
Ответ: $ \frac{2}{3} $