Номер 11, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. (2) Докажите, что при $a \ge 0$ имеет место равенство:

$\lim_{x \to \infty}(\sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{ax})=0.$

Для доказательства данного равенства необходимо сделать предположение о наличии опечаток в условии, так как в исходном виде равенство не выполняется. Наиболее вероятная корректная формулировка задачи предполагает, что второй член под знаком предела равен $\sqrt{a}x$, а коэффициент $b=0$. Таким образом, докажем равенство $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{ax^2+c}-\sqrt{a}x) = 0$ при $a \ge 0$.

Разобьем доказательство на два случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a > 0$

Рассмотрим предел $L = \lim_{x\to\infty} (\sqrt{ax^2+c}-\sqrt{a}x)$.

При $x \to \infty$ мы имеем неопределенность вида $\infty - \infty$. Чтобы ее раскрыть, умножим и разделим выражение на сопряженное ему, то есть на $(\sqrt{ax^2+c}+\sqrt{a}x)$.

$L = \lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{ax^2+c}-\sqrt{a}x)(\sqrt{ax^2+c}+\sqrt{a}x)}{\sqrt{ax^2+c}+\sqrt{a}x}$

Применим в числителе формулу разности квадратов $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$:

$L = \lim_{x\to\infty} \frac{(ax^2+c) - (\sqrt{a}x)^2}{\sqrt{ax^2+c}+\sqrt{a}x} = \lim_{x\to\infty} \frac{ax^2+c-ax^2}{\sqrt{ax^2+c}+\sqrt{a}x} = \lim_{x\to\infty} \frac{c}{\sqrt{ax^2+c}+\sqrt{a}x}$

Поскольку $a > 0$, при $x \to \infty$ знаменатель $\sqrt{ax^2+c}+\sqrt{a}x$ стремится к бесконечности. Числитель является константой $c$. Предел отношения константы к бесконечно большой величине равен нулю.

$L = 0$

Таким образом, для случая $a > 0$ равенство доказано.

Случай 2: $a = 0$

Подставим $a=0$ в доказываемое выражение (с учетом предполагаемых исправлений):

$L = \lim_{x\to\infty} (\sqrt{0 \cdot x^2+c}-\sqrt{0}x) = \lim_{x\to\infty} (\sqrt{c}-0) = \sqrt{c}$

Для того чтобы выражение $\sqrt{c}$ было определено, необходимо, чтобы $c \ge 0$.

Согласно доказываемому равенству, предел должен быть равен 0. Следовательно, $\sqrt{c} = 0$, что возможно только при $c=0$.

Таким образом, при $a=0$ равенство выполняется только при дополнительном условии $c=0$.

Объединяя оба случая, мы доказали, что равенство верно для всех $a > 0$ и для $a=0$ при условии $c=0$.

Ответ: Равенство $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax})=0$ в исходной формулировке неверно. Если предположить, что в условии допущена опечатка и имелось в виду равенство $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{ax^2+c}-\sqrt{a}x) = 0$, то оно выполняется для всех $a > 0$ и для $a=0$ при $c=0$.