Номер 18, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

18 Решите неравенства:

а)(2) $|x^2+2x-4|>4$;

б)(2) $|2x+1|+|3x+2|\leq5x+3$;

в)(2) $||x^3-x-1|-5|>x^3+x+8$.

а)

Неравенство $|x^2+2x-4|>4$ является неравенством вида $|f(x)| > a$, где $a>0$. Оно равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

Рассмотрим два случая:

1) $x^2+2x-4 > 4$
$x^2+2x-8 > 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2+2x-8=0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1=-4$ и $x_2=2$.
Парабола $y=x^2+2x-8$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2+2x-8 > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.
Решение для этого случая: $x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty)$.

2) $x^2+2x-4 < -4$
$x^2+2x < 0$
$x(x+2) < 0$
Корнями уравнения $x(x+2)=0$ являются $x_1=0$ и $x_2=-2$.
Парабола $y=x^2+2x$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x(x+2) < 0$ выполняется при значениях $x$ внутри интервала между корнями.
Решение для этого случая: $x \in (-2; 0)$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем общее решение неравенства.
Ответ: $(-\infty; -4) \cup (-2; 0) \cup (2; +\infty)$.

б)

Для решения неравенства $|2x+1|+|3x+2|\le5x+3$ применим метод интервалов.
Найдем точки, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль:
$2x+1=0 \implies x = -1/2$
$3x+2=0 \implies x = -2/3$
Отметим эти точки на числовой оси: $-2/3 \approx -0.67$, $-1/2 = -0.5$. Они разбивают ось на три интервала.

1) При $x < -2/3$: оба подмодульных выражения отрицательны.
$-(2x+1) - (3x+2) \le 5x+3$
$-2x-1-3x-2 \le 5x+3$
$-5x-3 \le 5x+3$
$-6 \le 10x$
$x \ge -0.6$
Ищем пересечение решения $x \ge -0.6$ с условием интервала $x < -2/3$ (т.е. $x < -0.666...$). Пересечение пусто, решений в этом интервале нет.

2) При $-2/3 \le x < -1/2$: выражение $2x+1$ отрицательно, а $3x+2$ неотрицательно.
$-(2x+1) + (3x+2) \le 5x+3$
$-2x-1+3x+2 \le 5x+3$
$x+1 \le 5x+3$
$-2 \le 4x$
$x \ge -1/2$
Ищем пересечение решения $x \ge -1/2$ с условием интервала $[-2/3, -1/2)$. Пересечение пусто.

3) При $x \ge -1/2$: оба подмодульных выражения неотрицательны.
$(2x+1) + (3x+2) \le 5x+3$
$5x+3 \le 5x+3$
$0 \le 0$
Это верное тождество, значит, неравенство выполняется для всех $x$ из рассматриваемого интервала, то есть для $x \ge -1/2$.

Объединяя решения, полученные на всех интервалах, получаем итоговый ответ.
Ответ: $[-1/2; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $||x^3-x-1|-5| > x^3+x+8$.
Неравенство вида $|A| > B$ равносильно совокупности двух систем: $A > B$ или $A < -B$.
В нашем случае $A = |x^3-x-1|-5$ и $B = x^3+x+8$.

1) $|x^3-x-1|-5 > x^3+x+8$
$|x^3-x-1| > x^3+x+13$
Это неравенство, в свою очередь, равносильно совокупности:
а) $x^3-x-1 > x^3+x+13 \implies -x-1 > x+13 \implies -2x > 14 \implies x < -7$.
б) $x^3-x-1 < -(x^3+x+13) \implies x^3-x-1 < -x^3-x-13 \implies 2x^3 < -12 \implies x^3 < -6 \implies x < -\sqrt[3]{6}$.
Объединяя решения а) и б), получаем $x < -\sqrt[3]{6}$, так как $(-\infty; -7) \subset (-\infty; -\sqrt[3]{6})$.

2) $|x^3-x-1|-5 < -(x^3+x+8)$
$|x^3-x-1| < -x^3-x-3$
Неравенство вида $|A| < B$ равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.
$-(-x^3-x-3) < x^3-x-1 < -x^3-x-3$
Это эквивалентно системе из двух неравенств:
а) $x^3+x+3 < x^3-x-1 \implies x+3 < -x-1 \implies 2x < -4 \implies x < -2$.
б) $x^3-x-1 < -x^3-x-3 \implies 2x^3 < -2 \implies x^3 < -1 \implies x < -1$.
Решением системы является пересечение решений, то есть $x < -2$.

Общее решение исходного неравенства — это объединение решений из пунктов 1 и 2:
$x < -\sqrt[3]{6}$ или $x < -2$.
Сравним числа $-\sqrt[3]{6}$ и $-2 = -\sqrt[3]{8}$. Поскольку $6 < 8$, то $\sqrt[3]{6} < \sqrt[3]{8}$, а значит $-\sqrt[3]{6} > -\sqrt[3]{8}$.
Таким образом, интервал $(-\infty; -\sqrt[3]{6})$ включает в себя интервал $(-\infty; -2)$, и их объединением будет больший интервал.
Ответ: $(-\infty; -\sqrt[3]{6})$.