Номер 12, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (2) Вычислите значения пределов:

a) $\lim_{x\to0} \frac{2x^2-5x+2}{4x-8}$;

б) $\lim_{x\to2} \frac{2x^2-5x+2}{4x-8}$;

в) $\lim_{x\to x_1} \frac{ax^2+bx+c}{x-x_1}$, где $x_1$ является корнем трехчлена $ax^2+bx+c$.

а) Вычислим предел $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 - 5x + 2}{4x - 8}$.

Поскольку функция, стоящая под знаком предела, является дробно-рациональной и непрерывной в точке $x=0$ (знаменатель не обращается в ноль), мы можем найти значение предела путем прямой подстановки $x=0$ в выражение:

$\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 - 5x + 2}{4x - 8} = \frac{2(0)^2 - 5(0) + 2}{4(0) - 8} = \frac{0 - 0 + 2}{0 - 8} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

б) Вычислим предел $\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 5x + 2}{4x - 8}$.

При подстановке $x=2$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как числитель $2(2)^2 - 5(2) + 2 = 8 - 10 + 2 = 0$ и знаменатель $4(2) - 8 = 8 - 8 = 0$.

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Знаменатель: $4x - 8 = 4(x-2)$.

Для разложения числителя $2x^2 - 5x + 2$ найдем его корни. Решая уравнение $2x^2 - 5x + 2 = 0$, получаем корни $x_1 = 2$ и $x_2 = \frac{1}{2}$.

Следовательно, разложение числителя имеет вид: $2(x-2)(x-\frac{1}{2}) = (x-2)(2x-1)$.

Подставим разложения в предел и сократим общий множитель $(x-2)$, так как $x \to 2$, но $x \neq 2$:

$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(2x-1)}{4(x-2)} = \lim_{x \to 2} \frac{2x-1}{4}$.

Теперь подставим $x=2$ в полученное выражение:

$\frac{2(2)-1}{4} = \frac{4-1}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

в) Вычислим предел $\lim_{x \to x_1} \frac{ax^2+bx+c}{x-x_1}$, где $x_1$ является корнем трехчлена $ax^2+bx+c$.

Из условия следует, что $ax_1^2 + bx_1 + c = 0$. При подстановке $x=x_1$ в предел получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Раскроем неопределенность, используя определение производной. Обозначим $P(x) = ax^2+bx+c$. Так как $P(x_1) = 0$, предел можно переписать в виде:

$\lim_{x \to x_1} \frac{P(x) - P(x_1)}{x-x_1}$.

Это выражение по определению является производной функции $P(x)$ в точке $x_1$, то есть $P'(x_1)$.

Найдем производную функции $P(x)$:

$P'(x) = (ax^2+bx+c)' = 2ax+b$.

Значение предела равно значению производной в точке $x_1$:

$P'(x_1) = 2ax_1+b$.

Другой способ — разложить числитель на множители. Если $x_1$ и $x_2$ — корни, то $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$. Тогда:

$\lim_{x \to x_1} \frac{a(x-x_1)(x-x_2)}{x-x_1} = \lim_{x \to x_1} a(x-x_2) = a(x_1-x_2)$.

По теореме Виета $x_1+x_2 = -b/a$, откуда $x_2 = -x_1 - b/a$. Подставляя, получаем $a(x_1 - (-x_1 - b/a)) = a(2x_1 + b/a) = 2ax_1+b$.

Ответ: $2ax_1+b$.