Номер 13, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

13. (3) Вычислите значения пределов:

a) $ \lim_{x \to 0.5} \frac{4x^2 - 8x + 3}{2x^2 - 7x + 3}; $

б) $ \lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x^2 - 4}; $

В) $ \lim_{x \to 0.4} \frac{5x^3 - 2x^2 + 5x - 2}{5x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 2x}. $

а) Вычислим предел $\lim_{x \to 0.5} \frac{4x^2 - 8x + 3}{2x^2 - 7x + 3}$.
При подстановке предельного значения $x = 0.5$ в числитель и знаменатель дроби, получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
Числитель: $4(0.5)^2 - 8(0.5) + 3 = 4 \cdot 0.25 - 4 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$.
Знаменатель: $2(0.5)^2 - 7(0.5) + 3 = 2 \cdot 0.25 - 3.5 + 3 = 0.5 - 3.5 + 3 = 0$.
Чтобы раскрыть неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители. Поскольку $x=0.5$ является корнем обоих многочленов, то $(x-0.5)$ или $(2x-1)$ является их общим множителем.
Разложим числитель $4x^2 - 8x + 3$. Найдем корни квадратного уравнения $4x^2 - 8x + 3 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{8}$, откуда $x_1 = \frac{8-4}{8} = \frac{4}{8} = 0.5$ и $x_2 = \frac{8+4}{8} = \frac{12}{8} = 1.5$.
Следовательно, $4x^2 - 8x + 3 = 4(x-0.5)(x-1.5) = (2x-1)(2x-3)$.
Разложим знаменатель $2x^2 - 7x + 3$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4}$, откуда $x_1 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$ и $x_2 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
Следовательно, $2x^2 - 7x + 3 = 2(x-0.5)(x-3) = (2x-1)(x-3)$.
Теперь можем вычислить предел:
$\lim_{x \to 0.5} \frac{(2x-1)(2x-3)}{(2x-1)(x-3)} = \lim_{x \to 0.5} \frac{2x-3}{x-3} = \frac{2 \cdot 0.5 - 3}{0.5 - 3} = \frac{1 - 3}{-2.5} = \frac{-2}{-2.5} = \frac{4}{5} = 0.8$.
Ответ: $0.8$.

б) Вычислим предел $\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x^2 - 4}$.
При подстановке $x = -2$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$:
Числитель: $(-2)^3 + 8 = -8 + 8 = 0$.
Знаменатель: $(-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.
Числитель раскладываем по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:
$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$.
Знаменатель раскладываем по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$.
Теперь можем вычислить предел:
$\lim_{x \to -2} \frac{(x+2)(x^2 - 2x + 4)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 2x + 4}{x-2} = \frac{(-2)^2 - 2(-2) + 4}{-2 - 2} = \frac{4 + 4 + 4}{-4} = \frac{12}{-4} = -3$.
Ответ: $-3$.

в) Вычислим предел $\lim_{x \to 0.4} \frac{5x^3 - 2x^2 + 5x - 2}{5x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 2x}$.
При подстановке $x = 0.4$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$:
Числитель: $5(0.4)^3 - 2(0.4)^2 + 5(0.4) - 2 = 5(0.064) - 2(0.16) + 2 - 2 = 0.32 - 0.32 = 0$.
Знаменатель: $5(0.4)^4 - 2(0.4)^3 - 5(0.4)^2 + 2(0.4) = 5(0.0256) - 2(0.064) - 5(0.16) + 0.8 = 0.128 - 0.128 - 0.8 + 0.8 = 0$.
Разложим числитель и знаменатель на множители. Поскольку $x=0.4$ является корнем, то $(x-0.4)$ или $(5x-2)$ является общим множителем.
Разложим числитель $5x^3 - 2x^2 + 5x - 2$ методом группировки:
$(5x^3 - 2x^2) + (5x - 2) = x^2(5x - 2) + 1(5x - 2) = (x^2+1)(5x-2)$.
Разложим знаменатель $5x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 2x$:
$x(5x^3 - 2x^2 - 5x + 2) = x(x^2(5x-2) - (5x-2)) = x(x^2-1)(5x-2) = x(x-1)(x+1)(5x-2)$.
Теперь можем вычислить предел:
$\lim_{x \to 0.4} \frac{(x^2+1)(5x-2)}{x(x-1)(x+1)(5x-2)} = \lim_{x \to 0.4} \frac{x^2+1}{x(x^2-1)} = \frac{(0.4)^2+1}{0.4((0.4)^2-1)} = \frac{0.16+1}{0.4(0.16-1)} = \frac{1.16}{0.4(-0.84)} = \frac{1.16}{-0.336} = -\frac{1160}{336}$.
Сократим дробь: $\frac{1160}{336} = \frac{580}{168} = \frac{290}{84} = \frac{145}{42}$.
Таким образом, предел равен $-\frac{145}{42}$.
Ответ: $-\frac{145}{42}$.