Номер 1, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. (1) Чему равны производные функций $y=3x-567$, $y=-3x$, $y=6$, $y=-\frac{1}{2}x$, $y=-\frac{1}{2}x+7$? Как связаны между собой знаки производных и наклоны соответствующих прямых?

1. Вычисление производных

• Для $y = 3x - 567$: $y' = (3x)' - (567)' = 3 - 0 = 3$.
• Для $y = -3x$: $y' = -3$.
• Для $y = 6$: $y' = 0$ (производная константы всегда равна нулю).
• Для $y = -1/2x$: $y' = -1/2$.
• Для $y = -1/2x + 7$: $y' = -1/2$.

Ответ: Производные равны соответственно: 3; -3; 0; -1/2; -1/2.

2. Связь производной и наклона прямой

• Производная линейной функции $y = kx + b$ в любой точке равна коэффициенту $k$.
• Геометрически $k$ — это тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$.
• Если $y' > 0$ (как в первом случае, $k=3$): прямая образует острый угол с осью $Ox$, функция возрастает.
• Если $y' < 0$ (как во втором и последних случаях): прямая образует тупой угол с осью $Ox$, функция убывает.
• Если $y' = 0$ (как в случае $y=6$): прямая параллельна оси $Ox$, функция постоянна.

Ответ: Знак производной совпадает со знаком коэффициента наклона $k$; положительная производная означает подъем прямой, отрицательная — спуск, а нулевая — горизонтальное положение.