Номер 6, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (2) Постройте график функции $f(x)=|\sin x|+1$. Определите точки, в которых:

а) не существует производной;

б) производная равна нулю;

в) производная отрицательна.

Для построения графика функции $f(x) = |\sin x| + 1$ сначала строится график $y = \sin x$. Затем часть графика, лежащая ниже оси абсцисс, симметрично отражается вверх, в результате чего получается график функции $y = |\sin x|$. Эта функция является периодической с периодом $\pi$. Наконец, весь график сдвигается на 1 единицу вверх по оси ординат. Итоговый график $f(x) = |\sin x| + 1$ колеблется в диапазоне от 1 до 2, имеет "острые" минимумы (точки излома) и "гладкие" максимумы.

а) не существует производной
Производная функции не существует в точках излома ее графика. Для функции $f(x) = |\sin x| + 1$ точки излома возникают там, где выражение под модулем, $\sin x$, равно нулю. Это происходит в точках $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). В этих точках график имеет острые "углы".
Чтобы доказать это формально, можно рассмотреть односторонние производные. Производная функции $f(x)$ определяется как $f'(x) = \cos x$ при $\sin x > 0$ и $f'(x) = -\cos x$ при $\sin x < 0$. В точке $x=k\pi$ левосторонняя и правосторонняя производные не равны. Например, для $x=0$:
Производная слева (при $x \to 0^-$): $\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} (-\cos x) = -1$.
Производная справа (при $x \to 0^+$): $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} (\cos x) = 1$.
Поскольку $-1 \ne 1$, производная в точке $x=0$ не существует. Аналогично для всех точек вида $x = k\pi$.
Ответ: Производная не существует в точках $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) производная равна нулю
Производная равна нулю в точках локальных экстремумов, где касательная к графику горизонтальна. В данном случае это "гладкие" вершины графика, то есть точки максимума. Максимум функции $f(x)$ достигается, когда $|\sin x|$ достигает своего максимального значения, равного 1.
Условие $|\sin x| = 1$ выполняется в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим это, приравняв производную к нулю:
1. При $\sin x > 0$, $f'(x) = \cos x$. Уравнение $\cos x = 0$ дает решения $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$.
2. При $\sin x < 0$, $f'(x) = -\cos x$. Уравнение $-\cos x = 0$ дает решения $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$.
Объединяя эти два семейства решений, получаем $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
Ответ: Производная равна нулю в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) производная отрицательна
Производная отрицательна на тех интервалах, где функция убывает. Глядя на график, можно увидеть, что функция убывает от своих максимумов (в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$) до следующих за ними минимумов (в точках $x = (k+1)\pi$).
Проанализируем знак производной:
1. При $\sin x > 0$ (например, на $(0, \pi)$), имеем $f'(x) = \cos x$. Производная отрицательна, когда $\cos x < 0$, что на данном интервале соответствует $x \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$.
2. При $\sin x < 0$ (например, на $(\pi, 2\pi)$), имеем $f'(x) = -\cos x$. Производная отрицательна, когда $-\cos x < 0$, то есть $\cos x > 0$. На данном интервале это соответствует $x \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.
Обобщая эти наблюдения на всю числовую прямую, получаем, что производная отрицательна на интервалах вида $(\frac{\pi}{2} + k\pi, (k+1)\pi)$.
Ответ: Производная отрицательна при $x \in (\frac{\pi}{2} + k\pi, (k+1)\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.