Номер 4, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

По графику функции $f(x) = x^2 - 2x$ определите знаки чисел $f'(-1), f'(0), f'(2), f'(1), f'(4)$.

Для определения знаков производной функции $f(x)=x^2-2x$ в заданных точках, воспользуемся ее геометрическим смыслом. Знак производной $f'(x_0)$ в точке $x_0$ показывает, возрастает или убывает функция в этой точке. Если $f'(x_0) > 0$, функция возрастает. Если $f'(x_0) < 0$, функция убывает. Если $f'(x_0) = 0$, то $x_0$ является стационарной точкой (точкой экстремума), где касательная к графику горизонтальна.

Функция $f(x)=x^2-2x$ — это квадратичная функция. Её график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительный).

Ключевой точкой для анализа является вершина параболы. Координата $x_v$ вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для данной функции $a=1$ и $b=-2$, поэтому $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

В точке $x=1$ находится минимум функции. Это означает, что на интервале $(-\infty, 1)$ функция убывает (ее график "идет вниз"), а на интервале $(1, +\infty)$ — возрастает (ее график "идет вверх"). Исходя из этого, определим знаки производной в заданных точках.

f'(-1)

Точка $x=-1$ принадлежит интервалу $(-\infty, 1)$, на котором функция $f(x)$ убывает. Следовательно, значение производной в этой точке отрицательно.

Ответ: $f'(-1) < 0$.

f'(0)

Точка $x=0$ принадлежит интервалу $(-\infty, 1)$, на котором функция $f(x)$ убывает. Следовательно, значение производной в этой точке отрицательно.

Ответ: $f'(0) < 0$.

f'(2)

Точка $x=2$ принадлежит интервалу $(1, +\infty)$, на котором функция $f(x)$ возрастает. Следовательно, значение производной в этой точке положительно.

Ответ: $f'(2) > 0$.

f'(1)

Точка $x=1$ является точкой минимума функции (вершиной параболы). В этой точке касательная к графику параллельна оси абсцисс, а производная равна нулю.

Ответ: $f'(1) = 0$.

f'(4)

Точка $x=4$ принадлежит интервалу $(1, +\infty)$, на котором функция $f(x)$ возрастает. Следовательно, значение производной в этой точке положительно.

Ответ: $f'(4) > 0$.