Номер 5, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (2) Постройте график функции $f(x)=|x^2-2x|$. Определите точки, в которых:

а) не существует производной;

б) производная равна нулю;

в) производная положительна.

Для построения графика функции $f(x) = |x^2 - 2x|$ сначала построим график параболы $y = x^2 - 2x$.

1. Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции): $x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2)=0$. Корни: $x_1=0$ и $x_2=2$.

2. Найдем вершину параболы. Координата x вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. Координата y вершины: $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Координаты вершины: $(1, -1)$.

3. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен.

4. График функции $f(x)=|x^2-2x|$ получается из графика параболы $y=x^2-2x$ путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая лежит ниже оси (где $y < 0$). Часть графика, которая лежит выше или на оси Ox, остается без изменений. Таким образом, часть параболы на интервале $(0, 2)$ отражается вверх, и ее вершина из точки $(1, -1)$ переходит в точку $(1, 1)$.

Теперь определим свойства производной. Для этого раскроем модуль, представив функцию в кусочно-заданном виде:
$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x^2 - 2x \ge 0, \text{ то есть при } x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty) \\ -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x, & \text{если } x^2 - 2x < 0, \text{ то есть при } x \in (0, 2) \end{cases}$

Найдем производную для каждого интервала:
$f'(x) = \begin{cases} 2x - 2, & \text{при } x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty) \\ -2x + 2, & \text{при } x \in (0, 2) \end{cases}$

а) не существует производной;Производная не существует в точках "излома" графика, где левосторонняя и правосторонняя производные не равны. Это происходит в точках, где выражение под модулем обращается в ноль: $x=0$ и $x=2$.Проверим точку $x=0$:
Производная слева: $\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} (2x-2) = -2$.
Производная справа: $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} (-2x+2) = 2$.
Поскольку $-2 \neq 2$, производная в точке $x=0$ не существует.Проверим точку $x=2$:
Производная слева: $\lim_{x \to 2^-} f'(x) = \lim_{x \to 2^-} (-2x+2) = -2(2)+2 = -2$.
Производная справа: $\lim_{x \to 2^+} f'(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x-2) = 2(2)-2 = 2$.
Поскольку $-2 \neq 2$, производная в точке $x=2$ не существует.
Ответ: производная не существует в точках $x=0$ и $x=2$.

б) производная равна нулю;Приравняем производную к нулю на каждом из интервалов.
1) Для $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$: $f'(x) = 2x - 2 = 0 \Rightarrow x=1$. Это значение не принадлежит данным интервалам.
2) Для $x \in (0, 2)$: $f'(x) = -2x + 2 = 0 \Rightarrow x=1$. Это значение принадлежит данному интервалу. Эта точка соответствует вершине отраженной части параболы.
Ответ: производная равна нулю в точке $x=1$.

в) производная положительна.Решим неравенство $f'(x) > 0$ для каждого интервала.
1) Для $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$: $f'(x) = 2x - 2 > 0 \Rightarrow 2x > 2 \Rightarrow x > 1$. Учитывая область определения для этого случая, получаем $x \in (2, \infty)$.
2) Для $x \in (0, 2)$: $f'(x) = -2x + 2 > 0 \Rightarrow 2 > 2x \Rightarrow x < 1$. Учитывая область определения для этого случая, получаем $x \in (0, 1)$.
Объединяя результаты, получаем, что производная положительна, когда функция возрастает.
Ответ: производная положительна при $x \in (0, 1) \cup (2, \infty)$.