Номер 3, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. (1) Известно, что для функции $y=f(x)$ значение производной в точке $x=4$ равно 7. Можем ли мы что-нибудь сказать о значении производной функции $y=f(-x)$ в точке $x=-7$? Можем ли мы что-нибудь сказать о значении производной $y=f(-x)$ в точке $x=-4$?

По условию задачи нам дано, что для функции $y=f(x)$ значение производной в точке $x=4$ равно 7. Это можно записать как $f'(4) = 7$.

Нам нужно проанализировать производную функции $g(x) = f(-x)$. Для этого найдем ее производную, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Пусть внутренняя функция $u(x) = -x$, а внешняя — $f(u)$.

Производная $g'(x)$ будет равна произведению производной внешней функции по ее аргументу на производную внутренней функции:

$(f(-x))' = f'(-x) \cdot (-x)'$

Поскольку производная от $-x$ по $x$ равна $-1$, получаем общую формулу для производной функции $g(x)$:

$g'(x) = f'(-x) \cdot (-1) = -f'(-x)$

Теперь применим эту формулу для ответа на вопросы задачи.

Можем ли мы что-нибудь сказать о значении производной функции y=f(-x) в точке x=-7?

Чтобы найти значение производной функции $y=f(-x)$ в точке $x=-7$, подставим $x=-7$ в выведенную нами формулу $g'(x) = -f'(-x)$:

$g'(-7) = -f'(-(-7)) = -f'(7)$

Для вычисления этого значения нам необходимо знать значение $f'(7)$. Однако в условии задачи дана информация только о значении производной в точке $x=4$, то есть $f'(4)=7$. Никакой информации о поведении функции или ее производной в точке $x=7$ у нас нет. Следовательно, определить значение $g'(-7)$ невозможно.

Ответ: Нет, на основании имеющихся данных сказать что-либо определенное о значении этой производной нельзя.

Можем ли мы что-нибудь сказать о значении производной y=f(-x) в точке x=-4?

Чтобы найти значение производной функции $y=f(-x)$ в точке $x=-4$, подставим $x=-4$ в формулу $g'(x) = -f'(-x)$:

$g'(-4) = -f'(-(-4)) = -f'(4)$

Из условия задачи мы знаем, что $f'(4) = 7$. Подставив это значение, получаем:

$g'(-4) = - (7) = -7$

Таким образом, мы можем однозначно определить значение производной функции $y=f(-x)$ в точке $x=-4$.

Ответ: Да, значение производной функции $y=f(-x)$ в точке $x=-4$ равно -7.