Номер 16, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16 (2)

Произведение возрастов братьев Маржан равно 1664. Младший из братьев вдвое младше старшего. Сколько у Маржан братьев?

Пусть $n$ – количество братьев, а их возрасты в порядке возрастания – $a_1, a_2, \dots, a_n$.

Согласно условиям задачи, произведение возрастов всех братьев равно 1664, а возраст младшего брата ($a_1$) в два раза меньше возраста старшего ($a_n$). Запишем это в виде системы уравнений:
$a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n = 1664$
$a_n = 2a_1$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы связать произведение возрастов с возрастом младшего брата:
$a_1 \cdot (a_2 \cdot \dots \cdot a_{n-1}) \cdot (2a_1) = 1664$
$2a_1^2 \cdot (a_2 \cdot \dots \cdot a_{n-1}) = 1664$

Разделим обе части уравнения на 2:
$a_1^2 \cdot (a_2 \cdot \dots \cdot a_{n-1}) = 832$

Для дальнейшего анализа разложим число 832 на простые множители:
$832 = 8 \cdot 104 = 8 \cdot 8 \cdot 13 = 2^3 \cdot 2^3 \cdot 13 = 2^6 \cdot 13$

Таким образом, наше уравнение принимает вид:
$a_1^2 \cdot (a_2 \cdot \dots \cdot a_{n-1}) = 2^6 \cdot 13$

Поскольку возраст $a_1$ – это целое число, то $a_1^2$ должен быть делителем числа 832, который является полным квадратом. Из разложения $2^6 \cdot 13$ видно, что единственным простым множителем в нечетной степени является 13. Это означает, что $a_1$ не может быть кратным 13. Следовательно, $a_1^2$ может состоять только из четных степеней множителя 2. Возможные значения для $a_1^2$: $2^0=1$, $2^2=4$, $2^4=16$, $2^6=64$.

Это дает нам следующие возможные значения для возраста младшего брата $a_1$: $1, 2, 4, 8$. Проверим каждый вариант по очереди.

1. Если $a_1 = 1$, то $a_n = 2 \cdot 1 = 2$. Возрасты остальных братьев должны быть целыми числами строго между 1 и 2, что невозможно.

2. Если $a_1 = 2$, то $a_n = 2 \cdot 2 = 4$. Произведение возрастов средних братьев равно $832 / a_1^2 = 832 / 4 = 208$. Их возрасты должны быть строго между 2 и 4, то есть 3. Но $3 \neq 208$. Вариант не подходит.

3. Если $a_1 = 4$, то $a_n = 2 \cdot 4 = 8$. Произведение возрастов средних братьев равно $832 / a_1^2 = 832 / 16 = 52$. Их возрасты должны быть строго между 4 и 8, т.е. 5, 6, 7. Никакое произведение этих чисел не равно 52. Вариант не подходит.

4. Если $a_1 = 8$, то $a_n = 2 \cdot 8 = 16$. Произведение возрастов средних братьев равно $832 / a_1^2 = 832 / 64 = 13$. Их возрасты должны быть строго между 8 и 16. Так как 13 — простое число, то может быть только один средний брат, и его возраст — 13 лет. Это значение удовлетворяет условию $8 < 13 < 16$.

Таким образом, мы нашли единственно верное решение: у Маржан трое братьев, их возрасты 8, 13 и 16 лет.

Проверка:
- Младший брат (8 лет) вдвое младше старшего (16 лет): $8 = 16 / 2$. Верно.
- Произведение возрастов: $8 \cdot 13 \cdot 16 = 104 \cdot 16 = 1664$. Верно.

Сколько у Маржан братьев?
Исходя из решения, у Маржан трое братьев.
Ответ: 3