Номер 10, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (1) Вычислите значения пределов:

a) $\lim_{x \to \infty}(\sqrt{(x+1)(x+3)}-x)$

б) $\lim_{x \to \infty}\frac{x+1}{\sqrt{4x^2+1}}$

а) Вычислим предел $ \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{(x+1)(x+3)} - x) $.При подстановке бесконечности мы получаем неопределенность вида $ \infty - \infty $. Для ее раскрытия умножим и разделим выражение на сопряженное ему, то есть на $ \sqrt{(x+1)(x+3)} + x $.$ \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{(x+1)(x+3)} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{(x+1)(x+3)} - x)(\sqrt{(x+1)(x+3)} + x)}{\sqrt{(x+1)(x+3)} + x} $.В числителе применим формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $:$ (\sqrt{(x+1)(x+3)})^2 - x^2 = (x+1)(x+3) - x^2 = (x^2 + 3x + x + 3) - x^2 = x^2 + 4x + 3 - x^2 = 4x + 3 $.Таким образом, предел принимает вид:$ \lim_{x \to +\infty} \frac{4x + 3}{\sqrt{x^2 + 4x + 3} + x} $.Теперь мы имеем неопределенность вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель на $ x $ в старшей степени, то есть на $ x^1 $.$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{4x + 3}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 + 4x + 3} + x}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 + 4x + 3}}{x} + \frac{x}{x}} $.Поскольку $ x \to +\infty $, то $ x > 0 $ и мы можем записать $ x = \sqrt{x^2} $. Внесем $ x $ под корень в знаменателе:$ \lim_{x \to +\infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 + 4x + 3}}{\sqrt{x^2}} + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{x^2 + 4x + 3}{x^2}} + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} + 1} $.Так как при $ x \to +\infty $ выражения $ \frac{3}{x} $, $ \frac{4}{x} $ и $ \frac{3}{x^2} $ стремятся к нулю, получаем:$ \frac{4 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1} = \frac{4}{\sqrt{1} + 1} = \frac{4}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2 $.Ответ: 2.

б) Вычислим предел $ \lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{\sqrt{4x^2+1}} $.При $ x \to +\infty $ числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, следовательно, мы имеем неопределенность вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $ x $, то есть на $ x $.$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x+1}{x}}{\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x}} $.Преобразуем числитель: $ \frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x} $.Преобразуем знаменатель. Так как $ x \to +\infty $, то $ x > 0 $ и мы можем записать $ x = \sqrt{x^2} $.$ \frac{\sqrt{4x^2+1}}{x} = \frac{\sqrt{4x^2+1}}{\sqrt{x^2}} = \sqrt{\frac{4x^2+1}{x^2}} = \sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} $.Подставим преобразованные выражения обратно в предел:$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}}} $.Поскольку при $ x \to +\infty $, выражения $ \frac{1}{x} $ и $ \frac{1}{x^2} $ стремятся к нулю, получаем:$ \frac{1+0}{\sqrt{4+0}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} $.Ответ: $ \frac{1}{2} $.