Номер 14, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

14. (2) Вычислите значения пределов:

а) $\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{\sqrt{4x+1}-3}$;

б) $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+18}-2\sqrt{x+1}}{x^2-9}$.

a) Вычислим предел $\lim_{x\to2} \frac{x-2}{\sqrt{4x+1}-3}$.
При подстановке $x=2$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
$\frac{2-2}{\sqrt{4 \cdot 2+1}-3} = \frac{0}{\sqrt{9}-3} = \frac{0}{0}$.
Чтобы раскрыть неопределенность, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{4x+1}+3$.
$\lim_{x\to2} \frac{x-2}{\sqrt{4x+1}-3} = \lim_{x\to2} \frac{(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}{(\sqrt{4x+1}-3)(\sqrt{4x+1}+3)}$
В знаменателе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(\sqrt{4x+1}-3)(\sqrt{4x+1}+3) = (\sqrt{4x+1})^2 - 3^2 = 4x+1-9 = 4x-8 = 4(x-2)$.
Подставим полученное выражение обратно в предел:
$\lim_{x\to2} \frac{(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}{4(x-2)}$
Сократим дробь на $(x-2)$, так как $x \to 2$, но $x \neq 2$:
$\lim_{x\to2} \frac{\sqrt{4x+1}+3}{4}$
Теперь подставим значение $x=2$:
$\frac{\sqrt{4 \cdot 2+1}+3}{4} = \frac{\sqrt{9}+3}{4} = \frac{3+3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Ответ: $1.5$.

б) Вычислим предел $\lim_{x\to3} \frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^2-9}$.
При подстановке $x=3$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
$\frac{\sqrt{3+13}-2\sqrt{3+1}}{3^2-9} = \frac{\sqrt{16}-2\sqrt{4}}{9-9} = \frac{4-2 \cdot 2}{0} = \frac{0}{0}$.
Чтобы раскрыть неопределенность, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}$.
$\lim_{x\to3} \frac{(\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1})(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}{(x^2-9)(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}$
В числителе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(\sqrt{x+13})^2 - (2\sqrt{x+1})^2 = (x+13) - 4(x+1) = x+13 - 4x - 4 = -3x+9 = -3(x-3)$.
Знаменатель $x^2-9$ также разложим по формуле разности квадратов: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.
Подставим полученные выражения обратно в предел:
$\lim_{x\to3} \frac{-3(x-3)}{(x-3)(x+3)(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}$
Сократим дробь на $(x-3)$, так как $x \to 3$, но $x \neq 3$:
$\lim_{x\to3} \frac{-3}{(x+3)(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}$
Теперь подставим значение $x=3$:
$\frac{-3}{(3+3)(\sqrt{3+13}+2\sqrt{3+1})} = \frac{-3}{6(\sqrt{16}+2\sqrt{4})} = \frac{-3}{6(4+2 \cdot 2)} = \frac{-3}{6(4+4)} = \frac{-3}{6 \cdot 8} = \frac{-3}{48} = -\frac{1}{16}$.
Ответ: $-\frac{1}{16}$.