Номер 7, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. (3) Вычислите значения пределов:

а) $lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{2x+1}}{x}$

б) $lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{2x+3}-1}{\sqrt{5+x}-2}$

в) $lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}$.

а) Вычислим предел $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{2x+1}}{x}$.

При прямой подстановке предельного значения $x=0$ в функцию возникает неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{1 - \sqrt{2(0)+1}}{0} = \frac{1 - \sqrt{1}}{0} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия этой неопределенности домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $1 + \sqrt{2x+1}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{2x+1}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \sqrt{2x+1})(1 + \sqrt{2x+1})}{x(1 + \sqrt{2x+1})}$

Применим в числителе формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\lim_{x \to 0} \frac{1^2 - (\sqrt{2x+1})^2}{x(1 + \sqrt{2x+1})} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - (2x+1)}{x(1 + \sqrt{2x+1})} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - 2x - 1}{x(1 + \sqrt{2x+1})} = \lim_{x \to 0} \frac{-2x}{x(1 + \sqrt{2x+1})}$

Сократим дробь на $x$ (поскольку $x \to 0$, то $x \neq 0$):

$\lim_{x \to 0} \frac{-2}{1 + \sqrt{2x+1}}$

Теперь можно выполнить подстановку $x=0$:

$\frac{-2}{1 + \sqrt{2(0)+1}} = \frac{-2}{1 + \sqrt{1}} = \frac{-2}{1+1} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $-1$

б) Вычислим предел $\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{2x+3}-1}{\sqrt{5+x}-2}$.

При подстановке $x=-1$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{\sqrt{2(-1)+3}-1}{\sqrt{5+(-1)}-2} = \frac{\sqrt{-2+3}-1}{\sqrt{4}-2} = \frac{\sqrt{1}-1}{2-2} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия неопределенности домножим дробь на сопряженное выражение к числителю ($\sqrt{2x+3}+1$) и на сопряженное выражение к знаменателю ($\sqrt{5+x}+2$).

$\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{2x+3}-1}{\sqrt{5+x}-2} = \lim_{x \to -1} \frac{(\sqrt{2x+3}-1)(\sqrt{2x+3}+1)(\sqrt{5+x}+2)}{(\sqrt{5+x}-2)(\sqrt{5+x}+2)(\sqrt{2x+3}+1)}$

Применим формулу разности квадратов в числителе и знаменателе:

$\lim_{x \to -1} \frac{(2x+3 - 1)(\sqrt{5+x}+2)}{(5+x - 4)(\sqrt{2x+3}+1)} = \lim_{x \to -1} \frac{(2x+2)(\sqrt{5+x}+2)}{(x+1)(\sqrt{2x+3}+1)} = \lim_{x \to -1} \frac{2(x+1)(\sqrt{5+x}+2)}{(x+1)(\sqrt{2x+3}+1)}$

Сократим дробь на $(x+1)$ (поскольку $x \to -1$, то $x+1 \neq 0$):

$\lim_{x \to -1} \frac{2(\sqrt{5+x}+2)}{\sqrt{2x+3}+1}$

Теперь подставим $x=-1$ в оставшееся выражение:

$\frac{2(\sqrt{5+(-1)}+2)}{\sqrt{2(-1)+3}+1} = \frac{2(\sqrt{4}+2)}{\sqrt{1}+1} = \frac{2(2+2)}{1+1} = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4$

Ответ: $4$

в) Вычислим предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}$.

При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{\sqrt{1-2(0)-0^2}-(1+0)}{0} = \frac{\sqrt{1}-1}{0} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия неопределенности домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю: $\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)$.

$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x))(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x))}{x(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x))}$

Применим формулу разности квадратов в числителе:

$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1-2x-x^2})^2 - (1+x)^2}{x(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x))} = \lim_{x \to 0} \frac{(1-2x-x^2) - (1+2x+x^2)}{x(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x))}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\lim_{x \to 0} \frac{1-2x-x^2-1-2x-x^2}{x(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x))} = \lim_{x \to 0} \frac{-4x-2x^2}{x(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x))}$

Вынесем $x$ за скобки в числителе и сократим дробь:

$\lim_{x \to 0} \frac{x(-4-2x)}{x(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x))} = \lim_{x \to 0} \frac{-4-2x}{\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)}$

Теперь подставим $x=0$:

$\frac{-4-2(0)}{\sqrt{1-2(0)-0^2}+(1+0)} = \frac{-4}{\sqrt{1}+1} = \frac{-4}{1+1} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $-2$