Номер 8, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (3) Вычислите значения пределов:

а) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$;

б) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{5x}$;

в) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$;

г) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin mx}{\sin nx}$;

д) $\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{x - a}$.

a) Для вычисления этого предела воспользуемся первым замечательным пределом: $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$. Чтобы привести наш предел к этому виду, домножим и разделим выражение под знаком предела на 2.$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin 2x}{2x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} $.Сделаем замену переменной $t = 2x$. При $x \to 0$, переменная $t$ также стремится к 0.$ 2 \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 2 \cdot 1 = 2 $.Ответ: 2

б) Этот предел похож на предыдущий. Вынесем константу $\frac{1}{5}$ за знак предела и используем тот же подход, что и в пункте а).$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{5x} = \frac{1}{5} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \frac{1}{5} \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin 2x}{2x} = \frac{1}{5} \cdot 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} $.Применяя первый замечательный предел ($\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$), получаем:$ \frac{2}{5} \cdot 1 = \frac{2}{5} $.Ответ: $\frac{2}{5}$

в) В данном случае мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель на $x$ и воспользуемся свойством предела частного.$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{x}}{\frac{\sin 5x}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x}} $.Теперь вычислим предел числителя и знаменателя отдельно, используя первый замечательный предел:$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 2x}{2x} = 2 $.$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{5 \sin 5x}{5x} = 5 $.Таким образом, исходный предел равен:$ \frac{2}{5} $.Ответ: $\frac{2}{5}$

г) Эта задача является обобщением предыдущей. Решим ее аналогичным методом, разделив числитель и знаменатель на $x$.$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin mx}{\sin nx} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin mx}{x}}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin nx}{x}} $.Вычислим пределы для числителя и знаменателя:$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin mx}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{m \cdot \sin mx}{mx} = m \cdot 1 = m $.$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin nx}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{n \cdot \sin nx}{nx} = n \cdot 1 = n $.Тогда искомый предел равен отношению этих значений (при условии $n \neq 0$):$ \frac{m}{n} $.Ответ: $\frac{m}{n}$

д) Данный предел представляет собой определение производной для функции $f(x) = \sin x$ в точке $a$.Напомним определение производной: $ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $.В нашем случае $f(x) = \sin x$, и мы ищем предел $ \lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{x - a} $.Это в точности производная функции $\sin x$ в точке $a$.Найдем производную функции $f(x) = \sin x$:$ f'(x) = (\sin x)' = \cos x $.Теперь подставим значение $x=a$ в производную:$ f'(a) = \cos a $.Следовательно, значение предела равно $\cos a$.Ответ: $\cos a$