Номер 15, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

15. (3) Вычислите значения пределов:

a) $lim_{x \to 0} \frac{tgx}{x}$;

б) $lim_{x \to 0} \frac{1 - cosx}{x^2}$;

в) $lim_{x \to 0} \frac{sin 5x - sin 3x}{sin x}$;

г) $lim_{x \to a} \frac{cos x - cos a}{x - a}$.

а) Для вычисления предела $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg}x}{x}$ мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$. Чтобы ее раскрыть, представим тангенс как отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
Подставим это в наш предел:$$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cdot \cos x} $$Теперь можно разбить это выражение на произведение двух пределов:$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} $$Первый множитель — это первый замечательный предел, значение которого равно 1:$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$Второй предел вычисляется прямой подстановкой значения $x=0$:$$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1 $$Перемножая результаты, получаем итоговое значение:$$ 1 \cdot 1 = 1 $$Ответ: $1$.

б) Для вычисления предела $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Воспользуемся тригонометрической формулой для косинуса двойного угла, из которой следует, что $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$.
Подставим это выражение в предел:$$ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} $$Чтобы свести задачу к первому замечательному пределу, преобразуем знаменатель: $x^2 = 4 \cdot \frac{x^2}{4} = 4 \cdot (\frac{x}{2})^2$.$$ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{4(\frac{x}{2})^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^2\frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^2} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 $$Так как при $x \to 0$ переменная $u = \frac{x}{2}$ также стремится к нулю, мы можем применить первый замечательный предел $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$:$$ \frac{1}{2} \left(\lim_{\frac{x}{2} \to 0} \frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2} $$Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Вычислим предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x - \sin 3x}{\sin x}$. Здесь также неопределенность $\frac{0}{0}$. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель дроби на $x$ и воспользуемся свойством предела $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k$.$$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 5x - \sin 3x}{x}}{\frac{\sin x}{x}} $$Используя свойство предела частного, получаем:$$ \frac{\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 5x}{x} - \frac{\sin 3x}{x}\right)}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}} $$Теперь используем свойство предела разности в числителе:$$ \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} - \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}} $$Применяя для каждого предела формулу $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k$, находим:$$ \frac{5 - 3}{1} = 2 $$Ответ: $2$.

г) Предел $\lim_{x \to a} \frac{\cos x - \cos a}{x - a}$ представляет собой определение производной функции $f(x) = \cos x$ в точке $x = a$.
Напомним, что производная функции $f(x)$ в точке $a$ определяется как:$$ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $$В данном случае $f(x) = \cos x$, соответственно $f(a) = \cos a$.Таким образом, значение предела равно значению производной функции $f(x) = \cos x$ в точке $a$.Найдем производную:$$ f'(x) = (\cos x)' = -\sin x $$Теперь вычислим значение этой производной в точке $x = a$:$$ f'(a) = -\sin a $$Следовательно, искомый предел равен $-\sin a$.
Ответ: $-\sin a$.