Номер 8, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (2) Постройте график функции $f(x)=\frac{2x-3}{x-1}$.

а) Найдите область определения функции и множество ее значений.

б) Пользуясь графиком, определите $\lim_{x \to 1-0} f(x)$, $\lim_{x \to 1+0} f(x)$.

в) Пользуясь графиком, определите $\lim_{x \to 2-0} f(x)$, $\lim_{x \to 2+0} f(x)$, $\lim_{x \to 2} f(x)$.

г) Укажите промежутки непрерывности функции и точки разрыва.

д) Определите $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

Для начала построим график функции $f(x) = \frac{2x - 3}{x - 1}$.

Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола. Преобразуем выражение, выделив целую часть:

$f(x) = \frac{2x - 3}{x - 1} = \frac{2x - 2 - 1}{x - 1} = \frac{2(x - 1) - 1}{x - 1} = \frac{2(x - 1)}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = 2 - \frac{1}{x - 1}$.

Из этого вида видно, что график функции получается из графика $y = -\frac{1}{x}$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy.

Асимптоты графика:

Вертикальная асимптота (знаменатель равен нулю): $x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Горизонтальная асимптота: $y = 2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy ($x=0$): $f(0) = \frac{2(0) - 3}{0 - 1} = 3$. Точка $(0, 3)$.

С осью Ox ($f(x)=0$): $\frac{2x - 3}{x - 1} = 0 \implies 2x - 3 = 0 \implies x = 1.5$. Точка $(1.5, 0)$.

Найдем несколько дополнительных точек для точности:

При $x=2$, $f(2) = \frac{2(2)-3}{2-1} = 1$. Точка $(2, 1)$.

При $x=-1$, $f(-1) = \frac{2(-1)-3}{-1-1} = \frac{-5}{-2} = 2.5$. Точка $(-1, 2.5)$.

График представляет собой гиперболу с ветвями в условных второй и четвертой четвертях относительно центра асимптот $(1, 2)$.

а) Найдите область определения функции и множество ее значений.

Область определения функции $D(f)$ — это все значения $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Следовательно, область определения: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Множество значений функции $E(f)$ можно найти из преобразованного вида функции $f(x) = 2 - \frac{1}{x - 1}$. Выражение $\frac{1}{x - 1}$ может принимать любое действительное значение, кроме нуля. Следовательно, $f(x)$ может принимать любое значение, кроме 2.

Следовательно, множество значений: $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$, множество значений $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

б) Пользуясь графиком, определите $\lim_{x \to 1-0} f(x)$, $\lim_{x \to 1+0} f(x)$.

Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой графика. По графику видим, что при приближении к этой прямой слева ($x \to 1-0$), ветвь гиперболы уходит в положительную бесконечность.

$\lim_{x \to 1-0} f(x) = +\infty$.

При приближении к прямой $x=1$ справа ($x \to 1+0$), ветвь гиперболы уходит в отрицательную бесконечность.

$\lim_{x \to 1+0} f(x) = -\infty$.

Ответ: $\lim_{x \to 1-0} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to 1+0} f(x) = -\infty$.

в) Пользуясь графиком, определите $\lim_{x \to 2-0} f(x)$, $\lim_{x \to 2+0} f(x)$, $\lim_{x \to 2} f(x)$.

В точке $x=2$ функция определена и непрерывна. По графику видим, что при приближении к $x=2$ как слева, так и справа, значение функции стремится к $f(2)$.

Найдем значение функции при $x=2$: $f(2) = \frac{2(2) - 3}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1$.

Поскольку функция непрерывна в точке $x=2$, левосторонний, правосторонний и общий пределы равны значению функции в этой точке.

$\lim_{x \to 2-0} f(x) = 1$.

$\lim_{x \to 2+0} f(x) = 1$.

$\lim_{x \to 2} f(x) = 1$.

Ответ: $\lim_{x \to 2-0} f(x) = 1$, $\lim_{x \to 2+0} f(x) = 1$, $\lim_{x \to 2} f(x) = 1$.

г) Укажите промежутки непрерывности функции и точки разрыва.

Функция непрерывна на всей своей области определения. Область определения, как мы нашли в пункте а), это $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Следовательно, промежутки непрерывности: $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Точка, не входящая в область определения, является точкой разрыва. Это точка $x=1$.

Так как односторонние пределы в точке $x=1$ равны бесконечности ($\lim_{x \to 1-0} f(x) = +\infty$ и $\lim_{x \to 1+0} f(x) = -\infty$), то в точке $x=1$ функция терпит разрыв второго рода (бесконечный разрыв).

Ответ: Промежутки непрерывности: $(-\infty; 1)$, $(1; +\infty)$. Точка разрыва: $x=1$ (разрыв второго рода).

д) Определите $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Для нахождения пределов при $x \to \pm\infty$ посмотрим на поведение функции на бесконечности, которое определяется горизонтальной асимптотой $y=2$.

Когда $x$ стремится к $+\infty$ или к $-\infty$, ветви гиперболы неограниченно приближаются к прямой $y=2$.

Вычислим пределы аналитически, разделив числитель и знаменатель на старшую степень $x$:

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x - 3}{x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{2 - 0}{1 - 0} = 2$.

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x - 3}{x - 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{2 - 0}{1 - 0} = 2$.

Ответ: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$.