Номер 5, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Существуют ли $lim_{x \to +\infty} \sin x$, $lim_{x \to \infty} \sin x$? Если нет, то почему? Если да, то чему они равны?

(1) Пределы $\lim_{x \to +\infty} \sin x$ и $\lim_{x \to -\infty} \sin x$ не существуют.

Это объясняется тем, что функция $y = \sin x$ является периодической (с периодом $2\pi$) и ее значения ограничены отрезком $[-1, 1]$. При неограниченном увеличении или уменьшении аргумента $x$, значения функции не стремятся к какому-либо одному числу, а продолжают колебаться. Для существования предела необходимо, чтобы функция приближалась к единственному значению.

Чтобы строго доказать отсутствие предела, можно использовать определение по Гейне. Согласно ему, если предел существует, то для любой последовательности аргументов $\{x_n\}$, сходящейся к точке предельного перехода (в нашем случае к $+\infty$ или $-\infty$), последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$ должна сходиться к одному и тому же числу.

Рассмотрим случай $x \to +\infty$. Выберем две последовательности. Первая последовательность: $x_n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. При $n \to \infty$ имеем $x_n \to +\infty$. Значения функции на этой последовательности: $\sin(x_n) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 1$. Предел этой последовательности значений функции равен 1.

Вторая последовательность: $x'_n = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$. При $n \to \infty$ имеем $x'_n \to +\infty$. Значения функции на этой последовательности: $\sin(x'_n) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n) = -1$. Предел этой последовательности значений функции равен -1.

Поскольку мы нашли две последовательности, стремящиеся к $+\infty$, для которых пределы значений функции различны (1 и -1), это означает, что предел $\lim_{x \to +\infty} \sin x$ не существует.

Аналогичное рассуждение применимо и для случая $x \to -\infty$. Рассмотрим последовательности $x_n = \frac{\pi}{2} - 2\pi n$ (стремится к $-\infty$) и $x'_n = \frac{3\pi}{2} - 2\pi n$ (также стремится к $-\infty$). Для первой последовательности предел значений синуса будет 1, а для второй — -1. Это доказывает, что предел $\lim_{x \to -\infty} \sin x$ также не существует.

Ответ: Оба предела, $\lim_{x \to +\infty} \sin x$ и $\lim_{x \to -\infty} \sin x$, не существуют. Причина заключается в периодической природе функции синуса: при $x \to \pm\infty$ ее значения не стремятся к одному конкретному числу, а постоянно колеблются в диапазоне от -1 до 1.