Номер 12, страница 219, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. Сколько корней имеет уравнение $|x-1|=x^2$?

Для того чтобы определить, сколько корней имеет уравнение $|x-1|=x^2$, необходимо решить его. Сделаем это аналитически, раскрыв модуль.

По определению абсолютной величины (модуля), мы должны рассмотреть два случая.

Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

При этом условии модуль раскрывается со знаком "плюс": $|x-1| = x-1$. Уравнение принимает вид:

$x-1 = x^2$

Перепишем его в стандартном виде квадратного уравнения:

$x^2 - x + 1 = 0$

Найдем дискриминант ($D$) этого уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$.

При этом условии модуль раскрывается со знаком "минус": $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Уравнение принимает вид:

$1 - x = x^2$

Перепишем его в стандартном виде:

$x^2 + x - 1 = 0$

Найдем дискриминант ($D$):

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$

Так как дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x < 1$.

Для корня $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$: это число очевидно отрицательное, а значит, меньше 1. Таким образом, $x_1$ является решением исходного уравнения.

Для корня $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$: оценим его значение. Поскольку $2 < \sqrt{5} < 3$, то $1 < -1+\sqrt{5} < 2$. Отсюда следует, что $0.5 < \frac{-1+\sqrt{5}}{2} < 1$. Так как $x_2 < 1$, этот корень также является решением.

В итоге мы получили два действительных корня, оба из которых удовлетворяют соответствующим условиям.

Также можно решить задачу графически, найдя число точек пересечения графиков функций $y=|x-1|$ и $y=x^2$. Графики пересекаются в двух точках, что подтверждает аналитическое решение.

Ответ: 2.