Номер 5, страница 217, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (4) Для того, чтобы стать участником заключительного этапа Кубка мира, спортсмену необходимо принять участие в трех независимых отборочных этапах. Вероятность того, что спортсмен станет победителем первого из этих трех этапов, равна $0.8$. Каждый следующий этап сложнее предыдущих, поэтому вероятность победить каждый раз уменьшается на $0.1$. Участие во втором и третьем этапах не зависит от результатов выступления на предыдущих. Какова вероятность того, что:

а) спортсмен станет победителем во всех трех отборочных этапах;

б) спортсмен станет победителем только во втором и третьем этапах;

в) спортсмен не станет победителем ни в одном из этапов;

г) спортсмен станет победителем в каких-то двух из трех этапов?

Для решения задачи сначала определим вероятности победы для каждого из трех этапов. Пусть $P_1, P_2, P_3$ — это вероятности победы в первом, втором и третьем этапах соответственно.

По условию, вероятность победы в первом этапе: $P_1 = 0,8$.

Вероятность победить в каждом следующем этапе уменьшается на 0,1:

Вероятность победы во втором этапе: $P_2 = P_1 - 0,1 = 0,8 - 0,1 = 0,7$.

Вероятность победы в третьем этапе: $P_3 = P_2 - 0,1 = 0,7 - 0,1 = 0,6$.

Также определим вероятности того, что спортсмен не станет победителем в каждом из этапов. Пусть это будут $Q_1, Q_2, Q_3$:

Вероятность не победить в первом этапе: $Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0,8 = 0,2$.

Вероятность не победить во втором этапе: $Q_2 = 1 - P_2 = 1 - 0,7 = 0,3$.

Вероятность не победить в третьем этапе: $Q_3 = 1 - P_3 = 1 - 0,6 = 0,4$.

Так как события (участие в этапах) независимы, для нахождения вероятности их одновременного наступления мы будем перемножать их вероятности.

а) спортсмен станет победителем во всех трех отборочных этапах
Это событие означает, что спортсмен победит и в первом, и во втором, и в третьем этапе. Вероятность этого равна произведению вероятностей победы в каждом из этапов.
$P(А) = P_1 \times P_2 \times P_3 = 0,8 \times 0,7 \times 0,6 = 0,336$.
Ответ: 0,336

б) спортсмен станет победителем только во втором и третьем этапах
Это событие означает, что спортсмен не победит в первом этапе, но победит во втором и третьем. Вероятность этого равна произведению соответствующих вероятностей.
$P(Б) = Q_1 \times P_2 \times P_3 = 0,2 \times 0,7 \times 0,6 = 0,084$.
Ответ: 0,084

в) спортсмен не станет победителем ни в одном из этапов
Это событие означает, что спортсмен не победит ни в первом, ни во втором, ни в третьем этапе. Вероятность этого равна произведению вероятностей не победить в каждом из этапов.
$P(В) = Q_1 \times Q_2 \times Q_3 = 0,2 \times 0,3 \times 0,4 = 0,024$.
Ответ: 0,024

г) спортсмен станет победителем в каких-то двух из трех этапов
Это сложное событие, которое включает в себя три несовместных исхода:
1. Победа в 1-м и 2-м этапах, но не в 3-м: $P_1 \times P_2 \times Q_3 = 0,8 \times 0,7 \times 0,4 = 0,224$.
2. Победа в 1-м и 3-м этапах, но не во 2-м: $P_1 \times Q_2 \times P_3 = 0,8 \times 0,3 \times 0,6 = 0,144$.
3. Победа во 2-м и 3-м этапах, но не в 1-м: $Q_1 \times P_2 \times P_3 = 0,2 \times 0,7 \times 0,6 = 0,084$.
Общая вероятность равна сумме вероятностей этих трех исходов:
$P(Г) = 0,224 + 0,144 + 0,084 = 0,452$.
Ответ: 0,452