Номер 13, страница 211, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

13. Какая из следующих систем уравнений имеет по крайней мере одно решение в вещественных числах:

a) $ \frac{x}{y}=x+y=x-y $;

б) $ \frac{y}{x}=x-y=x+y $;

c) $ \frac{x}{y}=xy=x+y=x-y $;

Д) $ \frac{x}{y}=\frac{y}{x}=x-y=x+y $;

e) $ \frac{x}{y}=xy=x+y $.

Для того чтобы определить, какая из систем имеет хотя бы одно решение, проанализируем каждую из них по отдельности.

а) Система уравнений: $\frac{x}{y} = x+y = x-y$.

Рассмотрим равенство $x+y = x-y$. Вычитая $x$ из обеих частей, получаем $y = -y$, что эквивалентно $2y = 0$, откуда следует $y=0$. Однако в системе присутствует выражение $\frac{x}{y}$, которое определено только при $y \neq 0$. Полученное противоречие означает, что система не имеет решений в вещественных числах.

Ответ: решений нет.

б) Система уравнений: $\frac{y}{x} = x-y = x+y$.

Рассмотрим равенство $x-y = x+y$. Вычитая $x$ из обеих частей, получаем $-y = y$, что эквивалентно $2y = 0$, откуда следует $y=0$. Подставим $y=0$ в другое равенство системы, например, $\frac{y}{x} = x+y$. Получим $\frac{0}{x} = x+0$, что дает $x=0$. Таким образом, единственное возможное решение — это пара $(0, 0)$. Однако в системе присутствует выражение $\frac{y}{x}$, которое определено только при $x \neq 0$. Следовательно, найденная пара не является решением. Система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

c) Система уравнений: $\frac{x}{y} = xy = x+y = x-y$.

Эта система, как и система в пункте а), содержит равенство $x+y = x-y$, из которого следует, что $y=0$. Но наличие в системе выражения $\frac{x}{y}$ требует, чтобы $y \neq 0$. Возникает противоречие, поэтому система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Д) Система уравнений: $\frac{x}{y} = \frac{y}{x} = x-y = x+y$.

Эта система, как и система в пункте б), содержит равенство $x-y = x+y$, из которого следует, что $y=0$. Но наличие в системе выражения $\frac{x}{y}$ требует, чтобы $y \neq 0$. Возникает противоречие, поэтому система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

e) Система уравнений: $\frac{x}{y} = xy = x+y$.

Данная запись эквивалентна системе из двух уравнений:

1) $\frac{x}{y} = xy$

2) $xy = x+y$

Из-за наличия дроби $\frac{x}{y}$ должно выполняться условие $y \neq 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Так как $y \neq 0$, мы можем умножить обе части на $y$:

$x = xy^2$

$x - xy^2 = 0$

$x(1-y^2) = 0$

Это равенство выполняется в двух случаях: либо $x=0$, либо $1-y^2=0$.

Случай 1: $x=0$.

Подставим $x=0$ во второе уравнение системы: $0 \cdot y = 0 + y$, откуда получаем $y=0$. Это противоречит условию $y \neq 0$, поэтому $x$ не может быть равен нулю.

Случай 2: $1-y^2=0$.

Отсюда $y^2=1$, то есть $y=1$ или $y=-1$.

Если $y=1$, подставим это значение во второе уравнение: $x \cdot 1 = x+1$, что приводит к неверному равенству $x=x+1$ или $0=1$. Следовательно, $y \neq 1$.

Если $y=-1$, подставим это значение во второе уравнение: $x \cdot (-1) = x+(-1)$, то есть $-x = x-1$. Отсюда $2x = 1$ и $x = \frac{1}{2}$.

Мы нашли пару чисел $(x, y) = (\frac{1}{2}, -1)$. Проверим, является ли она решением исходной системы. Условие $y \neq 0$ выполнено. Подставим значения в выражения:

$\frac{x}{y} = \frac{1/2}{-1} = - \frac{1}{2}$

$xy = (\frac{1}{2}) \cdot (-1) = - \frac{1}{2}$

$x+y = \frac{1}{2} + (-1) = - \frac{1}{2}$

Все три части равны между собой. Таким образом, система имеет по крайней мере одно решение.

Ответ: система имеет решение, например, $x=\frac{1}{2}, y=-1$.