Номер 8, страница 211, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. На тригонометрической окружности отметили дугу, соответствующую решениям неравенства $cos x \le \frac{1}{2}$. Какова вероятность того, что наугад указанное число x принадлежит отмеченной дуге?

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность того, что случайно выбранная точка на окружности попадет на заданную дугу, равна отношению длины этой дуги к длине всей окружности.

1. Нахождение дуги, соответствующей решению неравенства

Рассмотрим неравенство $\cos(x) \le \frac{1}{2}$ на тригонометрической окружности. Значение $\cos(x)$ соответствует абсциссе (координате по оси X) точки на окружности, отвечающей углу $x$.

Сначала найдем значения $x$, для которых выполняется равенство $\cos(x) = \frac{1}{2}$. На одном полном обороте (в промежутке $[0, 2\pi]$) это углы: $x_1 = \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.

Неравенству $\cos(x) \le \frac{1}{2}$ соответствуют все точки на окружности, у которых абсцисса меньше или равна $\frac{1}{2}$. Эти точки образуют дугу, которая начинается в точке, соответствующей углу $\frac{\pi}{3}$, и, двигаясь против часовой стрелки, заканчивается в точке, соответствующей углу $\frac{5\pi}{3}$.

2. Вычисление длины дуги

Длина (угловая мера в радианах) этой дуги вычисляется как разность между конечным и начальным углами: $L_{дуги} = \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

3. Вычисление вероятности

Длина всей тригонометрической окружности соответствует полному углу, равному $2\pi$ радиан. Вероятность $P$ того, что наугад указанное число $x$ принадлежит отмеченной дуге, находится как отношение длины благоприятствующей дуги к длине всей окружности: $P = \frac{L_{дуги}}{L_{окружности}} = \frac{\frac{4\pi}{3}}{2\pi}$.

Упростим это выражение: $P = \frac{4\pi}{3 \cdot 2\pi} = \frac{4\pi}{6\pi} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.