Номер 10, страница 211, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. В круг вписан квадрат. В круг наугад бросают точку. Какова вероятность того, что точка окажется внутри квадрата? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

10.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность того, что точка, брошенная наугад в некоторую область, попадет в её подобласть, равна отношению площади этой подобласти к площади всей области. В нашем случае общая область — это круг, а интересующая нас подобласть — вписанный в него квадрат.

Пусть $S_{circle}$ — это площадь круга, а $S_{square}$ — это площадь вписанного квадрата.

Искомая вероятность $P$ находится по формуле: $P = \frac{S_{square}}{S_{circle}}$

Для вычисления площадей введем радиус круга $R$. Площадь круга выражается формулой: $S_{circle} = \pi R^2$

Теперь найдем площадь квадрата. Когда квадрат вписан в круг, его диагональ $d$ совпадает с диаметром круга, то есть $d = 2R$.

Связь между диагональю квадрата $d$ и его стороной $a$ определяется по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю квадрата: $a^2 + a^2 = d^2$, что упрощается до $2a^2 = d^2$.

Подставим в это соотношение $d = 2R$: $2a^2 = (2R)^2$ $2a^2 = 4R^2$

Отсюда можно найти $a^2$, что и является площадью квадрата $S_{square}$: $a^2 = \frac{4R^2}{2} = 2R^2$ Итак, $S_{square} = 2R^2$.

Теперь мы можем вычислить вероятность, подставив найденные площади в исходную формулу: $P = \frac{S_{square}}{S_{circle}} = \frac{2R^2}{\pi R^2}$

Величина $R^2$ сокращается, и мы получаем, что вероятность не зависит от размера круга: $P = \frac{2}{\pi}$

Осталось вычислить это значение и округлить его с точностью до 3-го знака после запятой. Принимая $\pi \approx 3.14159...$: $P \approx \frac{2}{3.14159...} \approx 0.6366197...$

При округлении до тысячных (третьего знака после запятой) смотрим на четвертый знак. Так как он равен 6 (что больше или равно 5), то третий знак увеличиваем на единицу: $P \approx 0.637$

Ответ: 0.637