Номер 5, страница 210, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. Прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 и катетом 5 вписан в круг.

а) Какова вероятность, что произвольная точка круга окажется внутренней точкой треугольника? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

б) Какова вероятность, что произвольная точка круга не окажется внутренней точкой треугольника? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

а) Какова вероятность, что произвольная точка круга окажется внутренней точкой треугольника? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

Для решения задачи по геометрической вероятности необходимо найти отношение площади "благоприятной" области (треугольника) к площади всей области (круга). Вероятность $P$ вычисляется по формуле:

$P = \frac{S_{треугольника}}{S_{круга}}$

1. Найдем площадь треугольника.

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой $c = 13$ и одним из катетов $a = 5$. Второй катет $b$ можно найти по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$5^2 + b^2 = 13^2$

$25 + b^2 = 169$

$b^2 = 169 - 25 = 144$

$b = \sqrt{144} = 12$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$

2. Найдем площадь круга.

Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, его гипотенуза является диаметром этой окружности. Таким образом, диаметр круга $d = 13$.

Радиус круга $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$:

$S_{круга} = \pi \cdot (6.5)^2 = 42.25\pi$

3. Вычислим вероятность.

Теперь мы можем найти вероятность, разделив площадь треугольника на площадь круга:

$P = \frac{30}{42.25\pi} \approx \frac{30}{42.25 \cdot 3.14159} \approx \frac{30}{132.7322} \approx 0.22599...$

Округляя результат до третьего знака после запятой, получаем 0.226.

Ответ: 0.226

б) Какова вероятность, что произвольная точка круга не окажется внутренней точкой треугольника? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

Событие, при котором точка не окажется внутри треугольника, является противоположным событию, рассмотренному в пункте а). Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Обозначим искомую вероятность как $P'$.

$P' = 1 - P$

Где $P$ — это вероятность того, что точка окажется внутри треугольника, вычисленная ранее.

$P' \approx 1 - 0.22599... \approx 0.77400...$

Округляя результат до третьего знака после запятой, получаем 0.774.

Ответ: 0.774