Номер 23, страница 206, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

23. Ерлан и Асхат попали в армию во взвод подводных пехотинцев. Взвод подводных пехотинцев насчитывает 30 рядовых. Каждый день из числа рядовых случайным образом выбирают 10 и отправляют их надувать боевые пузыри. С какой вероятностью оба приятеля попадают вместе в команду надувателей боевых пузырей?

Для решения этой задачи мы будем использовать классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

1. Найдём общее число исходов $n$. Это количество всех возможных способов выбрать 10 рядовых из 30. Поскольку порядок выбора солдат в команду не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний: $C_N^k = \frac{N!}{k!(N-k)!}$.
В нашем случае общее число рядовых $N=30$, а количество мест в команде $k=10$.
$n = C_{30}^{10} = \frac{30!}{10!(30-10)!} = \frac{30!}{10!20!}$.

2. Найдём число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это тот, при котором в команду из 10 человек попадают и Ерлан, и Асхат.
Если мы считаем, что Ерлан и Асхат уже в команде, то два места из десяти уже заняты. Следовательно, нам нужно добрать в команду ещё $10 - 2 = 8$ человек.
Выбирать этих 8 человек нужно из оставшихся рядовых. Всего в взводе было 30 человек, но двое друзей уже отобраны, поэтому осталось $30 - 2 = 28$ кандидатов.
Число способов выбрать 8 человек из оставшихся 28 равно:
$m = C_{28}^{8} = \frac{28!}{8!(28-8)!} = \frac{28!}{8!20!}$.

3. Вычислим искомую вероятность.
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{C_{28}^{8}}{C_{30}^{10}} = \frac{\frac{28!}{8!20!}}{\frac{30!}{10!20!}}$
Упростим полученное выражение, "перевернув" дробь в знаменателе:
$P(A) = \frac{28!}{8!20!} \cdot \frac{10!20!}{30!}$
Сократим $20!$:
$P(A) = \frac{28! \cdot 10!}{8! \cdot 30!}$
Теперь воспользуемся свойством факториала ($n! = n \cdot (n-1)!$) для $30!$ и $10!$:
$30! = 30 \cdot 29 \cdot 28!$
$10! = 10 \cdot 9 \cdot 8!$
Подставим это в нашу формулу:
$P(A) = \frac{28! \cdot (10 \cdot 9 \cdot 8!)}{8! \cdot (30 \cdot 29 \cdot 28!)}$
Сократим одинаковые множители ($28!$ и $8!$):
$P(A) = \frac{10 \cdot 9}{30 \cdot 29} = \frac{90}{870}$
Сократим дробь сначала на 10, а затем на 3:
$P(A) = \frac{9}{87} = \frac{3}{29}$.

Можно решить задачу и другим, более быстрым способом. Представим, что мы рассматриваем одного из друзей, например, Ерлана. Вероятность того, что он попадет в команду из 10 человек, составляет $\frac{10}{30}$, так как в команде 10 "счастливых" мест из 30 возможных.
Теперь, при условии, что Ерлан уже в команде, остается 9 свободных мест и 29 солдат, включая Асхата. Вероятность того, что Асхат займет одно из этих 9 оставшихся мест, равна $\frac{9}{29}$.
Вероятность того, что оба события произойдут, равна произведению вероятностей этих событий:
$P = \frac{10}{30} \times \frac{9}{29} = \frac{1}{3} \times \frac{9}{29} = \frac{9}{87} = \frac{3}{29}$.
Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: $\frac{3}{29}$