Номер 22, страница 206, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

22. На окружности отмечены 10 красных и 7 синих точек. Рассматриваются треугольники с вершинами в отмеченных точках. Какова вероятность того, что наугад выбранный треугольник:

а) имеет ровно одну красную вершину;

б) имеет хотя бы 2 красные вершины?

Для решения задачи воспользуемся методами комбинаторики и классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятных этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Всего на окружности отмечено $10$ красных и $7$ синих точек, то есть $10 + 7 = 17$ точек. Треугольник образуется выбором любых трех точек из этих 17. Поскольку порядок выбора вершин не имеет значения, общее число возможных треугольников (общее число исходов) можно найти с помощью числа сочетаний из 17 по 3:

$N = C_{17}^3 = \frac{17!}{3!(17-3)!} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 17 \cdot 8 \cdot 5 = 680$.

а) имеет ровно одну красную вершину;

Чтобы треугольник имел ровно одну красную вершину, необходимо, чтобы две другие его вершины были синими. Найдем число благоприятных исходов для этого события.

Число способов выбрать 1 красную точку из 10 имеющихся равно $C_{10}^1$.

Число способов выбрать 2 синие точки из 7 имеющихся равно $C_7^2$.

Общее число треугольников с одной красной и двумя синими вершинами (число благоприятных исходов) находится по правилу произведения:

$N_a = C_{10}^1 \cdot C_7^2 = \frac{10!}{1!(10-1)!} \cdot \frac{7!}{2!(7-2)!} = 10 \cdot \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 10 \cdot 21 = 210$.

Вероятность $P(a)$ того, что наугад выбранный треугольник будет иметь ровно одну красную вершину, равна:

$P(a) = \frac{N_a}{N} = \frac{210}{680} = \frac{21}{68}$.

Ответ: $\frac{21}{68}$.

б) имеет хотя бы 2 красные вершины?

Событие "треугольник имеет хотя бы 2 красные вершины" означает, что он может иметь либо 2 красные вершины, либо 3 красные вершины. Это два несовместных случая, поэтому для нахождения общего числа благоприятных исходов мы можем сложить число исходов для каждого случая.

Случай 1: Треугольник имеет ровно 2 красные вершины и 1 синюю.

Число способов выбрать 2 красные вершины из 10: $C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.

Число способов выбрать 1 синюю вершину из 7: $C_7^1 = 7$.

Число таких треугольников: $N_{2k} = C_{10}^2 \cdot C_7^1 = 45 \cdot 7 = 315$.

Случай 2: Треугольник имеет 3 красные вершины.

В этом случае все три вершины выбираются из 10 красных точек.

Число таких треугольников: $N_{3k} = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

Общее число благоприятных исходов для события "б" равно сумме исходов в этих двух случаях:

$N_b = N_{2k} + N_{3k} = 315 + 120 = 435$.

Вероятность $P(b)$ этого события равна:

$P(b) = \frac{N_b}{N} = \frac{435}{680}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$P(b) = \frac{435 \div 5}{680 \div 5} = \frac{87}{136}$.

Ответ: $\frac{87}{136}$.