Страница 206, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

17. Испытание состоит в одновременном подбрасывании трех монет. Найдите вероятность того, что:

а) на всех трех монетах выпадет «орел»;

б) выпадет хотя бы один «орел» и хотя бы одна «решка»;

в) хотя бы на двух монетах выпадет «орел».

Для решения задачи сначала определим все возможные исходы при одновременном подбрасывании трех монет. Обозначим «орел» как О, а «решку» как Р. Всего существует $2^3 = 8$ равновероятных исходов:

1. ООО (три орла)

2. ООР

3. ОРО

4. РОО

5. ОРР

6. РОР

7. РРО

8. РРР (три решки)

Общее число всех возможных исходов $n=8$. Вероятность каждого события будем находить по формуле классической вероятности $P = m/n$, где $m$ – число благоприятных исходов.

а) на всех трех монетах выпадет «орел»

Этому событию соответствует только один исход из восьми возможных: ООО.

Число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность этого события равна: $P = 1/8$.

Ответ: $1/8$

б) выпадет хотя бы один «орел» и хотя бы одна «решка»

Это событие означает, что не все монеты выпали одной стороной. Следовательно, из всех возможных исходов нужно исключить те, где выпадают только орлы (ООО) или только решки (РРР).

Количество неблагоприятных исходов равно 2 (ООО и РРР).

Число благоприятных исходов $m$ равно общему числу исходов минус число неблагоприятных: $m = 8 - 2 = 6$.

К благоприятным исходам относятся: ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО.

Вероятность этого события равна: $P = 6/8 = 3/4$.

Ответ: $3/4$

в) хотя бы на двух монетах выпадет «орел»

Это событие означает, что выпадет либо ровно два орла, либо три орла.

Исходы, где выпадают ровно два орла: ООР, ОРО, РОО. Таких исходов 3.

Исход, где выпадают три орла: ООО. Такой исход 1.

Общее число благоприятных исходов $m$ равно сумме этих исходов: $m = 3 + 1 = 4$.

Вероятность этого события равна: $P = 4/8 = 1/2$.

Ответ: $1/2$

18. Из множества натуральных чисел от 1 до 100 случайным образом выбирается одно число. Определите вероятность того, что выбранное число окажется:

а) числом, которое кратно числу 6 (то есть делится на число 6 без остатка);

б) числом, которое кратно числам 6 и 8;

в) числом, которое кратно числу 6 или числу 8;

г) членом геометрической прогрессии $b_n = \frac{1}{16} \cdot 2^{n-1}$, где $n \geq 1$.

Общее число исходов - это количество натуральных чисел от 1 до 100, то есть $N=100$. Вероятность события $A$ вычисляется по формуле классической вероятности $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ - число благоприятных исходов, а $N$ - общее число исходов.

а) числом, которое кратно числу 6 (то есть делится на число 6 без остатка);
Найдем количество чисел от 1 до 100, которые делятся на 6. Для этого разделим 100 на 6 с отбрасыванием остатка (целочисленное деление):
$m_6 = \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$.
Это числа 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96.
Таким образом, число благоприятных исходов $m = 16$.
Вероятность того, что выбранное число кратно 6, равна:
$P(A) = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = 0,16$.
Ответ: 0,16.

б) числом, которое кратно числам 6 и 8;
Число, кратное одновременно 6 и 8, должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК).
Найдем НОК(6, 8):
$6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2^3$
НОК(6, 8) = $2^3 \cdot 3 = 24$.
Теперь найдем количество чисел от 1 до 100, которые кратны 24:
$m_{24} = \lfloor \frac{100}{24} \rfloor = 4$.
Это числа 24, 48, 72, 96.
Число благоприятных исходов $m = 4$.
Вероятность того, что выбранное число кратно 6 и 8, равна:
$P(B) = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 0,04$.
Ответ: 0,04.

в) числом, которое кратно числу 6 или числу 8;
Пусть событие $A$ - число кратно 6, событие $B$ - число кратно 8. Нам нужно найти вероятность события $A \cup B$ (число кратно 6 или 8).
Используем формулу сложения вероятностей для совместных событий: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Или, что то же самое, найдем количество чисел, кратных 6 или 8, по формуле включений-исключений: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.
Количество чисел, кратных 6: $|A| = m_6 = \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$.
Количество чисел, кратных 8: $|B| = m_8 = \lfloor \frac{100}{8} \rfloor = 12$.
Количество чисел, кратных 6 и 8 одновременно (то есть кратных 24), мы нашли в пункте б): $|A \cap B| = m_{24} = 4$.
Число благоприятных исходов: $m = 16 + 12 - 4 = 24$.
Вероятность того, что выбранное число кратно 6 или 8, равна:
$P(C) = \frac{24}{100} = \frac{6}{25} = 0,24$.
Ответ: 0,24.

г) членом геометрической прогрессии $b_n = \frac{1}{16} \cdot 2^{n-1}$, где $n \geq 1$.
Найдем, какие члены этой прогрессии являются натуральными числами в диапазоне от 1 до 100.
Преобразуем формулу для n-го члена: $b_n = \frac{2^{n-1}}{16} = \frac{2^{n-1}}{2^4} = 2^{n-5}$.
Чтобы $b_n$ было натуральным числом, показатель степени $n-5$ должен быть неотрицательным целым числом, то есть $n-5 \geq 0$, откуда $n \geq 5$.
Вычислим значения $b_n$ для $n \geq 5$:
$n=5: b_5 = 2^{5-5} = 2^0 = 1$. (Подходит, $1 \in [1, 100]$)
$n=6: b_6 = 2^{6-5} = 2^1 = 2$. (Подходит, $2 \in [1, 100]$)
$n=7: b_7 = 2^{7-5} = 2^2 = 4$. (Подходит, $4 \in [1, 100]$)
$n=8: b_8 = 2^{8-5} = 2^3 = 8$. (Подходит, $8 \in [1, 100]$)
$n=9: b_9 = 2^{9-5} = 2^4 = 16$. (Подходит, $16 \in [1, 100]$)
$n=10: b_{10} = 2^{10-5} = 2^5 = 32$. (Подходит, $32 \in [1, 100]$)
$n=11: b_{11} = 2^{11-5} = 2^6 = 64$. (Подходит, $64 \in [1, 100]$)
$n=12: b_{12} = 2^{12-5} = 2^7 = 128$. (Не подходит, $128 > 100$)
Таким образом, благоприятными исходами являются числа: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.
Всего 7 благоприятных исходов, $m = 7$.
Вероятность того, что выбранное число является членом данной прогрессии, равна:
$P(D) = \frac{7}{100} = 0,07$.
Ответ: 0,07.

19. Испытание состоит в одновременном подбрасывании двух игральных кубиков. Какова вероятность того, что произведение выпавших чисел окажется нечетным числом?

При одновременном подбрасывании двух игральных кубиков общее число равновозможных исходов $N$ равно произведению числа граней на каждом кубике. Поскольку у каждого кубика 6 граней, общее число исходов составляет $6 \times 6 = 36$.
Событие, вероятность которого нужно найти, — произведение выпавших чисел является нечетным. Произведение двух целых чисел нечетно тогда и только тогда, когда оба сомножителя нечетны.
На гранях стандартного игрального кубика есть три нечетных числа: {1, 3, 5}.
Следовательно, для наступления искомого события необходимо, чтобы на первом кубике выпало одно из этих трех чисел, и на втором кубике также выпало одно из этих трех чисел.
Число благоприятных исходов $m$ — это количество комбинаций, при которых на обоих кубиках выпадают нечетные числа. Оно равно $3 \times 3 = 9$.
Вероятность $P$ события вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P = \frac{m}{N} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.
В виде десятичной дроби это $0,25$.
Ответ: 0,25

20. Перед Винни-Пухом и Пятачком стоят 24 одинаковых на вид запечатанных горшков. Винни-Пух и Пятачок уверены, что в каждом из них мед. На самом деле, накануне вечером их добрый друг ослик Иа съел мед в 12-ти из горшков. Так что теперь 12 из 24 горшков действительно содержат мед, а остальные – отменное удобрение для выращивания растений. Винни-Пух и Пятачок выбирают себе каждый по одному горшку. Определите вероятность того, что:

a) Винни-Пуху достанется горшок с удобрением;

б) Винни-Пуху достанется горшок с удобрением и Пятачку достанется горшок с удобрением;

в) Винни-Пуху достанется горшок с удобрением, а Пятачку достанется горшок с медом.

Для решения задачи определим исходные данные:

Общее количество горшков: $N = 24$.

Так как ослик Иа съел мед из 12-ти горшков, то теперь в них находится удобрение.

Количество горшков с удобрением: $N_У = 12$.

Количество горшков с медом: $N_М = 24 - 12 = 12$.

а) Винни-Пуху достанется горшок с удобрением

Вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. Винни-Пух выбирает горшок первым.

Число благоприятных исходов (выбрать горшок с удобрением) равно $N_У = 12$.

Общее число исходов (все горшки) равно $N = 24$.

Вероятность $P(A)$ того, что Винни-Пуху достанется горшок с удобрением, равна:

$P(A) = \frac{N_У}{N} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Винни-Пуху достанется горшок с удобрением и Пятачку достанется горшок с удобрением

Это задача на нахождение вероятности произведения двух зависимых событий. Сначала Винни-Пух выбирает горшок, затем Пятачок.

Вероятность того, что Винни-Пух выберет горшок с удобрением (событие A), мы уже нашли в пункте а): $P(A) = \frac{12}{24}$.

После того, как Винни-Пух взял один горшок с удобрением, осталось $24 - 1 = 23$ горшка, из которых $12 - 1 = 11$ с удобрением.

Теперь Пятачок выбирает горшок. Вероятность того, что он выберет горшок с удобрением при условии, что Винни-Пух уже взял горшок с удобрением (событие B при условии A), равна:

$P(B|A) = \frac{11}{23}$

Вероятность того, что оба события произойдут, вычисляется как произведение их вероятностей:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{12}{24} \times \frac{11}{23} = \frac{1}{2} \times \frac{11}{23} = \frac{11}{46}$

Ответ: $\frac{11}{46}$

в) Винни-Пуху достанется горшок с удобрением, а Пятачку достанется горшок с медом

Это также задача на нахождение вероятности произведения двух зависимых событий.

Вероятность того, что Винни-Пух выберет горшок с удобрением (событие A), равна $P(A) = \frac{12}{24}$.

После того, как Винни-Пух взял один горшок с удобрением, осталось $23$ горшка. Количество горшков с медом при этом не изменилось и составляет $12$.

Теперь Пятачок выбирает горшок. Вероятность того, что он выберет горшок с медом при условии, что Винни-Пух взял горшок с удобрением (событие C при условии A), равна:

$P(C|A) = \frac{12}{23}$

Вероятность того, что произойдут оба этих события, вычисляется как произведение их вероятностей:

$P(A \cap C) = P(A) \times P(C|A) = \frac{12}{24} \times \frac{12}{23} = \frac{1}{2} \times \frac{12}{23} = \frac{6}{23}$

Ответ: $\frac{6}{23}$

21. На плоскости отмечено 4 зеленых и 9 голубых точек. Рассматриваются все отрезки с концами в отмеченных точках. Какова вероятность того, что наугад выбранный отрезок:

а) имеет оба конца голубыми;

б) имеет концы разного цвета;

в) имеет одноцветные концы?

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. На плоскости отмечено 4 зеленых и 9 голубых точек, всего $4 + 9 = 13$ точек. Отрезок задается двумя точками, поэтому общее число возможных отрезков равно числу сочетаний из 13 по 2.

Общее число исходов $N$ вычисляется по формуле числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$N = C_{13}^2 = \frac{13!}{2!(13-2)!} = \frac{13!}{2!11!} = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78$.

Таким образом, всего можно построить 78 различных отрезков.

а) имеет оба конца голубыми

Событие A — наугад выбранный отрезок имеет оба конца голубыми. Число благоприятствующих этому событию исходов равно числу отрезков, которые можно провести между 9 голубыми точками. Это число сочетаний из 9 по 2.

$N_a = C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$.

Вероятность события A равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{N_a}{N} = \frac{36}{78}$.

Сократив дробь на 6, получаем:

$P(A) = \frac{6}{13}$.

Ответ: $\frac{6}{13}$

б) имеет концы разного цвета

Событие B — наугад выбранный отрезок имеет концы разного цвета. Это означает, что один конец отрезка — зеленая точка, а другой — голубая. Число способов выбрать одну зеленую точку из 4 равно $C_4^1 = 4$. Число способов выбрать одну голубую точку из 9 равно $C_9^1 = 9$.

По правилу произведения, число благоприятствующих этому событию исходов равно:

$N_b = C_4^1 \times C_9^1 = 4 \times 9 = 36$.

Вероятность события B равна:

$P(B) = \frac{N_b}{N} = \frac{36}{78} = \frac{6}{13}$.

Ответ: $\frac{6}{13}$

в) имеет одноцветные концы

Событие C — наугад выбранный отрезок имеет одноцветные концы. Это означает, что оба конца отрезка либо зеленые, либо голубые. Это объединение двух несовместных событий.

Число отрезков с голубыми концами мы уже нашли в пункте а): $N_{голубые} = 36$.

Найдем число отрезков с зелеными концами. Это число сочетаний из 4 зеленых точек по 2:

$N_{зеленые} = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.

Общее число благоприятствующих исходов для события C равно сумме числа "голубых" и "зеленых" отрезков:

$N_c = N_{голубые} + N_{зеленые} = 36 + 6 = 42$.

Вероятность события C равна:

$P(C) = \frac{N_c}{N} = \frac{42}{78} = \frac{7}{13}$.

Альтернативно, событие "имеет одноцветные концы" является противоположным событию "имеет концы разного цвета" (пункт б). Поэтому его вероятность можно было найти как $P(C) = 1 - P(B) = 1 - \frac{6}{13} = \frac{7}{13}$.

Ответ: $\frac{7}{13}$

22. На окружности отмечены 10 красных и 7 синих точек. Рассматриваются треугольники с вершинами в отмеченных точках. Какова вероятность того, что наугад выбранный треугольник:

а) имеет ровно одну красную вершину;

б) имеет хотя бы 2 красные вершины?

Для решения задачи воспользуемся методами комбинаторики и классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятных этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Всего на окружности отмечено $10$ красных и $7$ синих точек, то есть $10 + 7 = 17$ точек. Треугольник образуется выбором любых трех точек из этих 17. Поскольку порядок выбора вершин не имеет значения, общее число возможных треугольников (общее число исходов) можно найти с помощью числа сочетаний из 17 по 3:

$N = C_{17}^3 = \frac{17!}{3!(17-3)!} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 17 \cdot 8 \cdot 5 = 680$.

а) имеет ровно одну красную вершину;

Чтобы треугольник имел ровно одну красную вершину, необходимо, чтобы две другие его вершины были синими. Найдем число благоприятных исходов для этого события.

Число способов выбрать 1 красную точку из 10 имеющихся равно $C_{10}^1$.

Число способов выбрать 2 синие точки из 7 имеющихся равно $C_7^2$.

Общее число треугольников с одной красной и двумя синими вершинами (число благоприятных исходов) находится по правилу произведения:

$N_a = C_{10}^1 \cdot C_7^2 = \frac{10!}{1!(10-1)!} \cdot \frac{7!}{2!(7-2)!} = 10 \cdot \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 10 \cdot 21 = 210$.

Вероятность $P(a)$ того, что наугад выбранный треугольник будет иметь ровно одну красную вершину, равна:

$P(a) = \frac{N_a}{N} = \frac{210}{680} = \frac{21}{68}$.

Ответ: $\frac{21}{68}$.

б) имеет хотя бы 2 красные вершины?

Событие "треугольник имеет хотя бы 2 красные вершины" означает, что он может иметь либо 2 красные вершины, либо 3 красные вершины. Это два несовместных случая, поэтому для нахождения общего числа благоприятных исходов мы можем сложить число исходов для каждого случая.

Случай 1: Треугольник имеет ровно 2 красные вершины и 1 синюю.

Число способов выбрать 2 красные вершины из 10: $C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.

Число способов выбрать 1 синюю вершину из 7: $C_7^1 = 7$.

Число таких треугольников: $N_{2k} = C_{10}^2 \cdot C_7^1 = 45 \cdot 7 = 315$.

Случай 2: Треугольник имеет 3 красные вершины.

В этом случае все три вершины выбираются из 10 красных точек.

Число таких треугольников: $N_{3k} = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

Общее число благоприятных исходов для события "б" равно сумме исходов в этих двух случаях:

$N_b = N_{2k} + N_{3k} = 315 + 120 = 435$.

Вероятность $P(b)$ этого события равна:

$P(b) = \frac{N_b}{N} = \frac{435}{680}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$P(b) = \frac{435 \div 5}{680 \div 5} = \frac{87}{136}$.

Ответ: $\frac{87}{136}$.

23. Ерлан и Асхат попали в армию во взвод подводных пехотинцев. Взвод подводных пехотинцев насчитывает 30 рядовых. Каждый день из числа рядовых случайным образом выбирают 10 и отправляют их надувать боевые пузыри. С какой вероятностью оба приятеля попадают вместе в команду надувателей боевых пузырей?

Для решения этой задачи мы будем использовать классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

1. Найдём общее число исходов $n$. Это количество всех возможных способов выбрать 10 рядовых из 30. Поскольку порядок выбора солдат в команду не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний: $C_N^k = \frac{N!}{k!(N-k)!}$.
В нашем случае общее число рядовых $N=30$, а количество мест в команде $k=10$.
$n = C_{30}^{10} = \frac{30!}{10!(30-10)!} = \frac{30!}{10!20!}$.

2. Найдём число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это тот, при котором в команду из 10 человек попадают и Ерлан, и Асхат.
Если мы считаем, что Ерлан и Асхат уже в команде, то два места из десяти уже заняты. Следовательно, нам нужно добрать в команду ещё $10 - 2 = 8$ человек.
Выбирать этих 8 человек нужно из оставшихся рядовых. Всего в взводе было 30 человек, но двое друзей уже отобраны, поэтому осталось $30 - 2 = 28$ кандидатов.
Число способов выбрать 8 человек из оставшихся 28 равно:
$m = C_{28}^{8} = \frac{28!}{8!(28-8)!} = \frac{28!}{8!20!}$.

3. Вычислим искомую вероятность.
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{C_{28}^{8}}{C_{30}^{10}} = \frac{\frac{28!}{8!20!}}{\frac{30!}{10!20!}}$
Упростим полученное выражение, "перевернув" дробь в знаменателе:
$P(A) = \frac{28!}{8!20!} \cdot \frac{10!20!}{30!}$
Сократим $20!$:
$P(A) = \frac{28! \cdot 10!}{8! \cdot 30!}$
Теперь воспользуемся свойством факториала ($n! = n \cdot (n-1)!$) для $30!$ и $10!$:
$30! = 30 \cdot 29 \cdot 28!$
$10! = 10 \cdot 9 \cdot 8!$
Подставим это в нашу формулу:
$P(A) = \frac{28! \cdot (10 \cdot 9 \cdot 8!)}{8! \cdot (30 \cdot 29 \cdot 28!)}$
Сократим одинаковые множители ($28!$ и $8!$):
$P(A) = \frac{10 \cdot 9}{30 \cdot 29} = \frac{90}{870}$
Сократим дробь сначала на 10, а затем на 3:
$P(A) = \frac{9}{87} = \frac{3}{29}$.

Можно решить задачу и другим, более быстрым способом. Представим, что мы рассматриваем одного из друзей, например, Ерлана. Вероятность того, что он попадет в команду из 10 человек, составляет $\frac{10}{30}$, так как в команде 10 "счастливых" мест из 30 возможных.
Теперь, при условии, что Ерлан уже в команде, остается 9 свободных мест и 29 солдат, включая Асхата. Вероятность того, что Асхат займет одно из этих 9 оставшихся мест, равна $\frac{9}{29}$.
Вероятность того, что оба события произойдут, равна произведению вероятностей этих событий:
$P = \frac{10}{30} \times \frac{9}{29} = \frac{1}{3} \times \frac{9}{29} = \frac{9}{87} = \frac{3}{29}$.
Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: $\frac{3}{29}$