Страница 204, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1. В торговом центре всего 10000 платьев, из которых 7000 розового цвета, 2000 – белого цвета и 1000 – голубого. Определите вероятность того, что Айзере выберет:

а) белое платье;

б) зеленое платье;

в) белое или голубое платье;

г) не голубое платье.

Для решения задачи используется классическое определение вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число всех равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию A.

Общее число платьев (всех возможных исходов) в торговом центре $n = 10000$.

Из них:

- Розовых: 7000

- Белых: 2000

- Голубых: 1000

а) белое платье;

Событие A – Айзере выберет белое платье. Число благоприятствующих этому событию исходов (количество белых платьев) равно $m = 2000$.

Вероятность выбрать белое платье:

$P(A) = \frac{2000}{10000} = \frac{2}{10} = 0,2$

Ответ: 0,2

б) зеленое платье;

Событие B – Айзере выберет зеленое платье. Согласно условию, в торговом центре нет зеленых платьев. Следовательно, число благоприятствующих этому событию исходов $m = 0$.

Вероятность выбрать зеленое платье:

$P(B) = \frac{0}{10000} = 0$

Это невозможное событие.

Ответ: 0

в) белое или голубое платье;

Событие C – Айзере выберет белое или голубое платье. Число благоприятствующих исходов равно сумме количества белых и голубых платьев, так как эти события несовместны (нельзя одновременно выбрать платье, которое является и белым, и голубым).

$m = (\text{число белых платьев}) + (\text{число голубых платьев}) = 2000 + 1000 = 3000$

Вероятность выбрать белое или голубое платье:

$P(C) = \frac{3000}{10000} = \frac{3}{10} = 0,3$

Ответ: 0,3

г) не голубое платье.

Событие D – Айзере выберет не голубое платье. Это означает, что она выберет либо розовое, либо белое платье. Число благоприятствующих этому событию исходов:

$m = (\text{число розовых платьев}) + (\text{число белых платьев}) = 7000 + 2000 = 9000$

Вероятность выбрать не голубое платье:

$P(D) = \frac{9000}{10000} = \frac{9}{10} = 0,9$

Также эту вероятность можно найти через противоположное событие "выбрать голубое платье". Вероятность выбрать голубое платье равна $\frac{1000}{10000} = 0,1$. Тогда вероятность не выбрать голубое платье равна $1 - 0,1 = 0,9$.

Ответ: 0,9

2. Испытание состоит в однократном подбрасывании игрального кубика.

Определите вероятность того, что:

а) выпадет число 6;

б) выпадет четное число;

в) выпадет не меньше чем 1.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов $m$ к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов $n$. Формула имеет вид: $P = m/n$.

При однократном подбрасывании стандартного игрального кубика возможно 6 равновероятных исходов: выпадение чисел 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Следовательно, общее число исходов $n = 6$.

а) выпадет число 6;
Данному событию благоприятствует только один исход: выпадение грани с числом 6. Таким образом, число благоприятствующих исходов $m = 1$.
Вероятность этого события: $P = m/n = 1/6$.
Ответ: $1/6$.

б) выпадет четное число;
Событию "выпадет четное число" благоприятствуют следующие исходы: выпадение чисел 2, 4 или 6. Всего таких исходов 3, следовательно, $m = 3$.
Вероятность этого события: $P = m/n = 3/6 = 1/2$.
Ответ: $1/2$.

в) выпадет не меньше чем 1.
Событие "выпадет не меньше чем 1" означает, что выпавшее число должно быть больше или равно 1 ($\ge 1$). Этому условию удовлетворяют все возможные исходы при броске кубика: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Таким образом, число благоприятствующих исходов $m = 6$.
Вероятность этого события: $P = m/n = 6/6 = 1$. Такое событие называется достоверным, так как оно обязательно произойдет.
Ответ: 1.

3. Испытание состоит в одновременном подбрасывании двух монет. Найдите вероятность того, что:

а) на обеих монетах выпадет «орел»;

б) на одной из монет выпадет «орел», а на другой – «решка»;

в) хотя бы на одной из монет выпадет «орел».

а) на обеих монетах выпадет «орел»
Для решения задачи определим все возможные исходы. Пусть О — «орел», Р — «решка». При одновременном подбрасывании двух монет существует четыре равновероятных исхода: (О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р). Таким образом, общее число всех возможных исходов $n = 4$. Событию «на обеих монетах выпадет орел» благоприятствует только один исход: (О, О). Следовательно, число благоприятных исходов $m = 1$. Вероятность события вычисляется по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P = \frac{m}{n} = \frac{1}{4} = 0,25$.
Ответ: 0,25.

б) на одной из монет выпадет «орел», а на другой - «решка»
Общее число всех возможных исходов по-прежнему равно $n = 4$. Событию «на одной из монет выпадет орел, а на другой - решка» благоприятствуют два исхода: (О, Р) и (Р, О). Таким образом, число благоприятных исходов $m = 2$. Вероятность этого события составляет $P = \frac{m}{n} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ответ: 0,5.

в) хотя бы на одной из монет выпадет «орел»
Общее число исходов $n = 4$. Событию «хотя бы на одной из монет выпадет орел» благоприятствуют все исходы, в которых есть хотя бы один «орел». Это исходы (О, О), (О, Р) и (Р, О). Число благоприятных исходов в этом случае равно $m = 3$. Вероятность события равна $P = \frac{m}{n} = \frac{3}{4} = 0,75$.
Альтернативный способ решения — через нахождение вероятности противоположного события. Противоположным событием является «ни на одной монете не выпадет орел», что соответствует исходу (Р, Р). Вероятность этого события равна $\frac{1}{4}$. Тогда вероятность искомого события (выпадет хотя бы один орел) равна разности единицы и вероятности противоположного события: $P = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0,75$.
Ответ: 0,75.

4. Из множества натуральных чисел от 1 до 200 случайным образом выбирается одно число. Определите вероятность того, что выбранное число окажется:

а) членом арифметической прогрессии $a_n = -30 + 12n$, где $n \geq 1$;

б) числом, которое кратно числу 5 (то есть делится на число 5 без остатка);

в) числом, которое кратно числам 5 и 7;

г) числом, которое кратно числу 5 или числу 7.

Всего в множестве натуральных чисел от 1 до 200 содержится 200 чисел. Это общее число равновозможных исходов для всех подпунктов задачи, $N=200$. Вероятность события $A$ вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = m/N$, где $m$ - число благоприятных исходов, а $N$ - общее число исходов.

а) членом арифметической прогрессии $a_n = -30 + 12n$, где $n \geq 1$
Найдем, какие члены данной арифметической прогрессии являются натуральными числами от 1 до 200. Для этого решим двойное неравенство: $1 \le a_n \le 200$
$1 \le -30 + 12n \le 200$
Прибавим 30 ко всем частям неравенства: $1 + 30 \le 12n \le 200 + 30$
$31 \le 12n \le 230$
Разделим все части на 12: $31/12 \le n \le 230/12$
$2.583... \le n \le 19.166...$
Поскольку по условию $n$ должно быть целым числом ($n \ge 1$), то $n$ может принимать целые значения от 3 до 19 включительно. Количество таких целых значений $n$ равно: $19 - 3 + 1 = 17$. Таким образом, число благоприятных исходов $m = 17$. Вероятность того, что выбранное число окажется членом данной прогрессии, равна: $P = m/N = 17/200$.
Ответ: $17/200$.

б) числом, которое кратно числу 5 (то есть делится на число 5 без остатка)
Найдем количество чисел от 1 до 200, которые делятся на 5. Для этого достаточно разделить 200 на 5 и взять целую часть от деления: $m = \lfloor 200 / 5 \rfloor = 40$. Число благоприятных исходов $m = 40$. Вероятность того, что выбранное число кратно 5, равна: $P = m/N = 40/200 = 1/5 = 0.2$.
Ответ: $1/5$ или $0,2$.

в) числом, которое кратно числам 5 и 7
Если число кратно одновременно 5 и 7, то оно кратно их наименьшему общему кратному (НОК). Так как 5 и 7 — взаимно простые числа, их НОК равен их произведению: $НОК(5, 7) = 5 \cdot 7 = 35$. Найдем количество чисел от 1 до 200, которые делятся на 35: $m = \lfloor 200 / 35 \rfloor = \lfloor 5.71... \rfloor = 5$. Это числа: 35, 70, 105, 140, 175. Число благоприятных исходов $m = 5$. Вероятность того, что выбранное число кратно 5 и 7, равна: $P = m/N = 5/200 = 1/40 = 0.025$.
Ответ: $1/40$ или $0,025$.

г) числом, которое кратно числу 5 или числу 7
Пусть событие $A$ — «число кратно 5», а событие $B$ — «число кратно 7». Нам нужно найти вероятность события $A \cup B$ (A или B). Воспользуемся формулой включений-исключений для нахождения числа благоприятных исходов: $m = N_5 + N_7 - N_{5 \text{ и } 7}$, где $N_k$ — количество чисел в диапазоне от 1 до 200, кратных $k$. Количество чисел, кратных 5 (событие $A$): $N_5 = \lfloor 200/5 \rfloor = 40$. Количество чисел, кратных 7 (событие $B$): $N_7 = \lfloor 200/7 \rfloor = \lfloor 28.57... \rfloor = 28$. Количество чисел, кратных 5 и 7 одновременно (событие $A \cap B$), мы нашли в пункте в): $N_{35} = 5$. Тогда число благоприятных исходов: $m = 40 + 28 - 5 = 63$. Вероятность того, что выбранное число кратно 5 или 7, равна: $P = m/N = 63/200 = 0.315$.
Ответ: $63/200$ или $0,315$.

5. Испытание состоит в одновременном подбрасывании двух игральных кубиков. Какова вероятность того, что произведение выпавших чисел окажется простым числом?

6. Испытание состоит...

5. Для нахождения вероятности события воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число исходов ($N$).
Испытание заключается в подбрасывании двух игральных кубиков. На каждом кубике может выпасть одно из шести чисел: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Поскольку броски кубиков являются независимыми событиями, общее число возможных комбинаций (исходов) равно произведению числа исходов для каждого кубика:
$N = 6 \times 6 = 36$.

2. Найдем число благоприятных исходов ($m$).
Благоприятным исходом считается тот, при котором произведение выпавших чисел является простым числом. Простое число — это натуральное число больше единицы, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя.

Пусть на первом кубике выпало число $a$, а на втором — $b$. Мы ищем такие пары $(a, b)$, что их произведение $a \times b$ является простым числом.По определению простого числа, если оно представлено в виде произведения двух натуральных чисел, то один из множителей должен быть равен 1, а второй — самому этому простому числу.Следовательно, для того чтобы произведение $a \times b$ было простым, одно из выпавших чисел ($a$ или $b$) должно быть равно 1, а другое — простому числу.

Простые числа, которые могут выпасть на игральном кубике (из диапазона от 1 до 6), это: 2, 3, 5.

Рассмотрим возможные благоприятные комбинации:

• Если на первом кубике выпала 1, то на втором должно выпасть простое число. Это пары: (1, 2), (1, 3), (1, 5).
• Если на втором кубике выпала 1, то на первом должно выпасть простое число. Это пары: (2, 1), (3, 1), (5, 1).

Перечислим все благоприятные исходы: (1, 2), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (3, 1), (5, 1).Всего таких исходов $m = 6$.

3. Вычислим вероятность.
Теперь мы можем рассчитать вероятность события, подставив найденные значения $m$ и $N$ в формулу:
$P = \frac{m}{N} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

6. Испытание состоит в трехкратном подбрасывании кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков за три раза составит 17 или 18?

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. Испытание состоит в трехкратном подбрасывании стандартного игрального кубика с шестью гранями. При каждом броске возможно 6 исходов (выпадение чисел от 1 до 6). Поскольку броски независимы, общее число всех равновозможных исходов равно $N = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216$.

Далее найдем количество благоприятных исходов. Нас интересует событие, при котором сумма очков за три броска составит 17 или 18. Это составное событие, которое можно разбить на два несовместных события:

1. Сумма очков равна 17.
2. Сумма очков равна 18.

Рассмотрим каждый случай отдельно и посчитаем количество комбинаций.

Случай 1: Сумма очков равна 17.
Чтобы получить в сумме 17, нужно найти тройки чисел от 1 до 6, которые дают эту сумму. Так как сумма близка к максимальной, числа должны быть большими. Единственная возможная комбинация чисел — это 6, 6 и 5 ($6+6+5=17$). Теперь найдем, сколькими способами можно получить эту комбинацию при трех бросках кубика (то есть, учтем порядок выпадения):

• (6, 6, 5)
• (6, 5, 6)
• (5, 6, 6)

Таким образом, существует 3 благоприятных исхода для этого случая.

Случай 2: Сумма очков равна 18.
Максимально возможная сумма при трех бросках — это $6+6+6 = 18$. Этот результат достигается только в одном-единственном случае, когда на всех трех кубиках выпадает 6.

• (6, 6, 6)

Таким образом, существует 1 благоприятный исход для этого случая.

Общее число благоприятных исходов равно сумме исходов для каждого случая: $m = 3 + 1 = 4$.

Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$P = \frac{m}{N} = \frac{4}{216}$

Сократим полученную дробь:$P = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}$

Ответ: $\frac{1}{54}$

7. Айганым собирается дарить друзьям подарки. В ее сумке находятся книги: 4 математики и 7 физики. Она не глядя достает по очереди подарки и раздает их друзьям. Какова вероятность того, что:

а) первая наугад вынутая книга окажется физикой?

б) две первые книги окажутся физикой?

в) первая книга окажется математикой, а второй – физикой?

Для решения задачи сначала определим общее количество книг в сумке. Всего книг: 4 по математике + 7 по физике = 11 книг.

а) первая наугад вынутая книга окажется физикой?
Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $m$ – число благоприятных исходов, а $n$ – общее число всех возможных исходов.
Число благоприятных исходов (вынуть книгу по физике) равно 7.
Общее число возможных исходов (общее количество книг) равно 11.
Следовательно, вероятность того, что первая вынутая книга окажется по физике, равна:$P(A) = \frac{7}{11}$.
Ответ: $\frac{7}{11}$.

б) две первые книги окажутся физикой?
Это составное событие, состоящее из двух зависимых событий: первая книга – физика, И вторая книга – физика. Книги достают без возвращения.
Вероятность того, что первая книга по физике: $P(Ф_1) = \frac{7}{11}$.
После того как достали одну книгу по физике, в сумке осталось 10 книг, из них 6 – по физике.Вероятность того, что вторая книга тоже будет по физике (при условии, что первая была по физике), равна: $P(Ф_2|Ф_1) = \frac{6}{10}$.
Вероятность того, что оба события произойдут последовательно, равна произведению их вероятностей:
$P = P(Ф_1) \times P(Ф_2|Ф_1) = \frac{7}{11} \times \frac{6}{10} = \frac{42}{110} = \frac{21}{55}$.
Ответ: $\frac{21}{55}$.

в) первая книга окажется математикой, а второй – физикой?
Это также составное событие из двух зависимых событий.
Вероятность того, что первая книга будет по математике (4 книги из 11): $P(М_1) = \frac{4}{11}$.
После того как достали книгу по математике, в сумке осталось 10 книг, из них по-прежнему 7 книг по физике.
Вероятность того, что вторая книга будет по физике (при условии, что первая была по математике), равна: $P(Ф_2|М_1) = \frac{7}{10}$.
Общая вероятность такой последовательности событий равна произведению вероятностей этих событий:
$P = P(М_1) \times P(Ф_2|М_1) = \frac{4}{11} \times \frac{7}{10} = \frac{28}{110} = \frac{14}{55}$.
Ответ: $\frac{14}{55}$.

8. В классе 20 человек. Требуется выбрать команду из 7 учеников для участия в КВН. Участников решили выбирать жребием. Какова вероятность того, что Асель и Ануар окажутся вместе в выбранной команде?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{M}{N}$, где $N$ – общее число всех равновозможных исходов, а $M$ – число исходов, благоприятствующих искомому событию.

1. Найдем общее число возможных исходов N.

Общее число исходов – это количество способов выбрать команду из 7 учеников из 20 имеющихся. Поскольку порядок выбора учеников в команду не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число учеников $n=20$, а количество учеников в команде $k=7$.

Таким образом, общее число способов сформировать команду:

$N = C_{20}^7 = \frac{20!}{7!(20-7)!} = \frac{20!}{7!13!}$

2. Найдем число благоприятных исходов M.

Благоприятным исходом является ситуация, когда Асель и Ануар оказываются вместе в выбранной команде. Мы можем мысленно зарезервировать для них два места в команде.

Тогда нам останется добрать в команду еще $7 - 2 = 5$ человек.

Выбирать этих 5 человек нужно из оставшихся учеников класса. Поскольку Асель и Ануар уже выбраны, в классе осталось $20 - 2 = 18$ учеников.

Число способов выбрать 5 учеников из оставшихся 18 также находится по формуле сочетаний:

$M = C_{18}^5 = \frac{18!}{5!(18-5)!} = \frac{18!}{5!13!}$

3. Найдем вероятность события.

Теперь, когда у нас есть общее число исходов (N) и число благоприятных исходов (M), мы можем найти вероятность.

$P = \frac{M}{N} = \frac{C_{18}^5}{C_{20}^7}$

Подставим формулы для сочетаний:

$P = \frac{\frac{18!}{5!13!}}{\frac{20!}{7!13!}} = \frac{18!}{5!13!} \cdot \frac{7!13!}{20!}$

Сократим $13!$ в числителе и знаменателе:

$P = \frac{18! \cdot 7!}{5! \cdot 20!}$

Теперь распишем факториалы $20!$ как $20 \cdot 19 \cdot 18!$ и $7!$ как $7 \cdot 6 \cdot 5!$ для дальнейшего сокращения:

$P = \frac{18! \cdot (7 \cdot 6 \cdot 5!)}{5! \cdot (20 \cdot 19 \cdot 18!)}$

Сократим общие множители $18!$ и $5!$:

$P = \frac{7 \cdot 6}{20 \cdot 19} = \frac{42}{380}$

Сократим полученную дробь на 2:

$P = \frac{21}{190}$

Ответ: $\frac{21}{190}$

9. В коробке 9 шаров: 3 красных, 3 желтых и 3 зеленых. Наудачу вынимаются три из них. Определите вероятность того, что:

а) все три шара окажутся одного цвета;

б) два шара окажутся красными и один – зеленым;

в) все шары окажутся разноцветными.

Для решения задачи используется классическое определение вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.Сначала найдем общее число способов вынуть 3 шара из 9. Это число сочетаний из 9 по 3, которое вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число исходов: $n = C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$.

а) все три шара окажутся одного цвета;
Это событие произойдет, если будут вынуты либо 3 красных, либо 3 желтых, либо 3 зеленых шара. Число способов вынуть 3 шара одного цвета из 3-х имеющихся шаров этого цвета равно $C_3^3 = 1$. Так как у нас три цвета, общее число благоприятных исходов $m_a$ равно сумме исходов для каждого цвета: $m_a = C_3^3 + C_3^3 + C_3^3 = 1 + 1 + 1 = 3$.Вероятность этого события: $P(A) = \frac{m_a}{n} = \frac{3}{84} = \frac{1}{28}$.
Ответ: $\frac{1}{28}$.

б) два шара окажутся красными и один - зеленым;
Число благоприятных исходов $m_б$ равно произведению числа способов выбрать 2 красных шара из 3 и числа способов выбрать 1 зеленый шар из 3.Число способов выбрать 2 красных шара из 3: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$.Число способов выбрать 1 зеленый шар из 3: $C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = 3$.По правилу произведения в комбинаторике, общее число благоприятных исходов равно: $m_б = C_3^2 \cdot C_3^1 = 3 \cdot 3 = 9$.Вероятность этого события: $P(Б) = \frac{m_б}{n} = \frac{9}{84} = \frac{3}{28}$.
Ответ: $\frac{3}{28}$.

в) все шары окажутся разноцветными.
Это событие произойдет, если будет вынут 1 красный, 1 желтый и 1 зеленый шар. Число благоприятных исходов $m_в$ равно произведению числа способов выбрать по одному шару каждого цвета.Число способов выбрать 1 красный шар из 3: $C_3^1 = 3$.Число способов выбрать 1 желтый шар из 3: $C_3^1 = 3$.Число способов выбрать 1 зеленый шар из 3: $C_3^1 = 3$.Общее число благоприятных исходов: $m_в = C_3^1 \cdot C_3^1 \cdot C_3^1 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.Вероятность этого события: $P(В) = \frac{m_в}{n} = \frac{27}{84} = \frac{9}{28}$.
Ответ: $\frac{9}{28}$.