Номер 4, страница 204, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. Из множества натуральных чисел от 1 до 200 случайным образом выбирается одно число. Определите вероятность того, что выбранное число окажется:

а) членом арифметической прогрессии $a_n = -30 + 12n$, где $n \geq 1$;

б) числом, которое кратно числу 5 (то есть делится на число 5 без остатка);

в) числом, которое кратно числам 5 и 7;

г) числом, которое кратно числу 5 или числу 7.

Всего в множестве натуральных чисел от 1 до 200 содержится 200 чисел. Это общее число равновозможных исходов для всех подпунктов задачи, $N=200$. Вероятность события $A$ вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = m/N$, где $m$ - число благоприятных исходов, а $N$ - общее число исходов.

а) членом арифметической прогрессии $a_n = -30 + 12n$, где $n \geq 1$
Найдем, какие члены данной арифметической прогрессии являются натуральными числами от 1 до 200. Для этого решим двойное неравенство: $1 \le a_n \le 200$
$1 \le -30 + 12n \le 200$
Прибавим 30 ко всем частям неравенства: $1 + 30 \le 12n \le 200 + 30$
$31 \le 12n \le 230$
Разделим все части на 12: $31/12 \le n \le 230/12$
$2.583... \le n \le 19.166...$
Поскольку по условию $n$ должно быть целым числом ($n \ge 1$), то $n$ может принимать целые значения от 3 до 19 включительно. Количество таких целых значений $n$ равно: $19 - 3 + 1 = 17$. Таким образом, число благоприятных исходов $m = 17$. Вероятность того, что выбранное число окажется членом данной прогрессии, равна: $P = m/N = 17/200$.
Ответ: $17/200$.

б) числом, которое кратно числу 5 (то есть делится на число 5 без остатка)
Найдем количество чисел от 1 до 200, которые делятся на 5. Для этого достаточно разделить 200 на 5 и взять целую часть от деления: $m = \lfloor 200 / 5 \rfloor = 40$. Число благоприятных исходов $m = 40$. Вероятность того, что выбранное число кратно 5, равна: $P = m/N = 40/200 = 1/5 = 0.2$.
Ответ: $1/5$ или $0,2$.

в) числом, которое кратно числам 5 и 7
Если число кратно одновременно 5 и 7, то оно кратно их наименьшему общему кратному (НОК). Так как 5 и 7 — взаимно простые числа, их НОК равен их произведению: $НОК(5, 7) = 5 \cdot 7 = 35$. Найдем количество чисел от 1 до 200, которые делятся на 35: $m = \lfloor 200 / 35 \rfloor = \lfloor 5.71... \rfloor = 5$. Это числа: 35, 70, 105, 140, 175. Число благоприятных исходов $m = 5$. Вероятность того, что выбранное число кратно 5 и 7, равна: $P = m/N = 5/200 = 1/40 = 0.025$.
Ответ: $1/40$ или $0,025$.

г) числом, которое кратно числу 5 или числу 7
Пусть событие $A$ — «число кратно 5», а событие $B$ — «число кратно 7». Нам нужно найти вероятность события $A \cup B$ (A или B). Воспользуемся формулой включений-исключений для нахождения числа благоприятных исходов: $m = N_5 + N_7 - N_{5 \text{ и } 7}$, где $N_k$ — количество чисел в диапазоне от 1 до 200, кратных $k$. Количество чисел, кратных 5 (событие $A$): $N_5 = \lfloor 200/5 \rfloor = 40$. Количество чисел, кратных 7 (событие $B$): $N_7 = \lfloor 200/7 \rfloor = \lfloor 28.57... \rfloor = 28$. Количество чисел, кратных 5 и 7 одновременно (событие $A \cap B$), мы нашли в пункте в): $N_{35} = 5$. Тогда число благоприятных исходов: $m = 40 + 28 - 5 = 63$. Вероятность того, что выбранное число кратно 5 или 7, равна: $P = m/N = 63/200 = 0.315$.
Ответ: $63/200$ или $0,315$.