Номер 8, страница 204, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. В классе 20 человек. Требуется выбрать команду из 7 учеников для участия в КВН. Участников решили выбирать жребием. Какова вероятность того, что Асель и Ануар окажутся вместе в выбранной команде?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{M}{N}$, где $N$ – общее число всех равновозможных исходов, а $M$ – число исходов, благоприятствующих искомому событию.

1. Найдем общее число возможных исходов N.

Общее число исходов – это количество способов выбрать команду из 7 учеников из 20 имеющихся. Поскольку порядок выбора учеников в команду не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число учеников $n=20$, а количество учеников в команде $k=7$.

Таким образом, общее число способов сформировать команду:

$N = C_{20}^7 = \frac{20!}{7!(20-7)!} = \frac{20!}{7!13!}$

2. Найдем число благоприятных исходов M.

Благоприятным исходом является ситуация, когда Асель и Ануар оказываются вместе в выбранной команде. Мы можем мысленно зарезервировать для них два места в команде.

Тогда нам останется добрать в команду еще $7 - 2 = 5$ человек.

Выбирать этих 5 человек нужно из оставшихся учеников класса. Поскольку Асель и Ануар уже выбраны, в классе осталось $20 - 2 = 18$ учеников.

Число способов выбрать 5 учеников из оставшихся 18 также находится по формуле сочетаний:

$M = C_{18}^5 = \frac{18!}{5!(18-5)!} = \frac{18!}{5!13!}$

3. Найдем вероятность события.

Теперь, когда у нас есть общее число исходов (N) и число благоприятных исходов (M), мы можем найти вероятность.

$P = \frac{M}{N} = \frac{C_{18}^5}{C_{20}^7}$

Подставим формулы для сочетаний:

$P = \frac{\frac{18!}{5!13!}}{\frac{20!}{7!13!}} = \frac{18!}{5!13!} \cdot \frac{7!13!}{20!}$

Сократим $13!$ в числителе и знаменателе:

$P = \frac{18! \cdot 7!}{5! \cdot 20!}$

Теперь распишем факториалы $20!$ как $20 \cdot 19 \cdot 18!$ и $7!$ как $7 \cdot 6 \cdot 5!$ для дальнейшего сокращения:

$P = \frac{18! \cdot (7 \cdot 6 \cdot 5!)}{5! \cdot (20 \cdot 19 \cdot 18!)}$

Сократим общие множители $18!$ и $5!$:

$P = \frac{7 \cdot 6}{20 \cdot 19} = \frac{42}{380}$

Сократим полученную дробь на 2:

$P = \frac{21}{190}$

Ответ: $\frac{21}{190}$