Номер 12, страница 205, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

из трех своих вершин на первой прямой:

12. На окружности отмечены 10 красных и 7 синих точек. Рассматриваются треугольники с вершинами в отмеченных точках. Какова вероятность того, что наугад выбранный треугольник:
а) имеет все три вершины красные;
б) имеет все три вершины одного цвета?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных, элементарных исходов, а $m$ — число элементарных исходов, благоприятствующих событию A.

Всего на окружности отмечено $10$ красных и $7$ синих точек, то есть $10 + 7 = 17$ точек.

Общее число способов выбрать 3 точки из 17 для построения треугольника равно числу сочетаний из 17 по 3. Это и будет общее число элементарных исходов $n$.

$n = C_{17}^3 = \frac{17!}{3!(17-3)!} = \frac{17!}{3!14!} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 17 \cdot 8 \cdot 5 = 680$.

Таким образом, всего можно построить 680 различных треугольников.

а) имеет все три вершины красные;

Событие A — выбранный треугольник имеет все три вершины красные. Число благоприятствующих этому событию исходов $m_a$ равно числу способов выбрать 3 красные вершины из 10 имеющихся красных точек.

$m_a = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

Вероятность того, что у треугольника все вершины красные, равна:

$P(A) = \frac{m_a}{n} = \frac{120}{680} = \frac{12}{68} = \frac{3}{17}$.

Ответ: $\frac{3}{17}$.

б) имеет все три вершины одного цвета?

Событие B — выбранный треугольник имеет все три вершины одного цвета. Это означает, что треугольник либо полностью красный, либо полностью синий. Эти два варианта являются несовместными событиями, поэтому их вероятности можно сложить. Или, что то же самое, можно сложить число благоприятствующих исходов.

Число треугольников с красными вершинами мы уже нашли: $120$.

Теперь найдем число треугольников с синими вершинами. Для этого нужно выбрать 3 вершины из 7 синих точек.

$m_{синие} = C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.

Общее число исходов, благоприятствующих событию B, равно сумме числа "красных" треугольников и "синих" треугольников:

$m_b = m_a + m_{синие} = 120 + 35 = 155$.

Вероятность того, что у треугольника все вершины одного цвета, равна:

$P(B) = \frac{m_b}{n} = \frac{155}{680}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$P(B) = \frac{155 \div 5}{680 \div 5} = \frac{31}{136}$.

Ответ: $\frac{31}{136}$.