Номер 18, страница 206, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

18. Из множества натуральных чисел от 1 до 100 случайным образом выбирается одно число. Определите вероятность того, что выбранное число окажется:

а) числом, которое кратно числу 6 (то есть делится на число 6 без остатка);

б) числом, которое кратно числам 6 и 8;

в) числом, которое кратно числу 6 или числу 8;

г) членом геометрической прогрессии $b_n = \frac{1}{16} \cdot 2^{n-1}$, где $n \geq 1$.

Общее число исходов - это количество натуральных чисел от 1 до 100, то есть $N=100$. Вероятность события $A$ вычисляется по формуле классической вероятности $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ - число благоприятных исходов, а $N$ - общее число исходов.

а) числом, которое кратно числу 6 (то есть делится на число 6 без остатка);
Найдем количество чисел от 1 до 100, которые делятся на 6. Для этого разделим 100 на 6 с отбрасыванием остатка (целочисленное деление):
$m_6 = \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$.
Это числа 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96.
Таким образом, число благоприятных исходов $m = 16$.
Вероятность того, что выбранное число кратно 6, равна:
$P(A) = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = 0,16$.
Ответ: 0,16.

б) числом, которое кратно числам 6 и 8;
Число, кратное одновременно 6 и 8, должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК).
Найдем НОК(6, 8):
$6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2^3$
НОК(6, 8) = $2^3 \cdot 3 = 24$.
Теперь найдем количество чисел от 1 до 100, которые кратны 24:
$m_{24} = \lfloor \frac{100}{24} \rfloor = 4$.
Это числа 24, 48, 72, 96.
Число благоприятных исходов $m = 4$.
Вероятность того, что выбранное число кратно 6 и 8, равна:
$P(B) = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 0,04$.
Ответ: 0,04.

в) числом, которое кратно числу 6 или числу 8;
Пусть событие $A$ - число кратно 6, событие $B$ - число кратно 8. Нам нужно найти вероятность события $A \cup B$ (число кратно 6 или 8).
Используем формулу сложения вероятностей для совместных событий: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Или, что то же самое, найдем количество чисел, кратных 6 или 8, по формуле включений-исключений: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.
Количество чисел, кратных 6: $|A| = m_6 = \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$.
Количество чисел, кратных 8: $|B| = m_8 = \lfloor \frac{100}{8} \rfloor = 12$.
Количество чисел, кратных 6 и 8 одновременно (то есть кратных 24), мы нашли в пункте б): $|A \cap B| = m_{24} = 4$.
Число благоприятных исходов: $m = 16 + 12 - 4 = 24$.
Вероятность того, что выбранное число кратно 6 или 8, равна:
$P(C) = \frac{24}{100} = \frac{6}{25} = 0,24$.
Ответ: 0,24.

г) членом геометрической прогрессии $b_n = \frac{1}{16} \cdot 2^{n-1}$, где $n \geq 1$.
Найдем, какие члены этой прогрессии являются натуральными числами в диапазоне от 1 до 100.
Преобразуем формулу для n-го члена: $b_n = \frac{2^{n-1}}{16} = \frac{2^{n-1}}{2^4} = 2^{n-5}$.
Чтобы $b_n$ было натуральным числом, показатель степени $n-5$ должен быть неотрицательным целым числом, то есть $n-5 \geq 0$, откуда $n \geq 5$.
Вычислим значения $b_n$ для $n \geq 5$:
$n=5: b_5 = 2^{5-5} = 2^0 = 1$. (Подходит, $1 \in [1, 100]$)
$n=6: b_6 = 2^{6-5} = 2^1 = 2$. (Подходит, $2 \in [1, 100]$)
$n=7: b_7 = 2^{7-5} = 2^2 = 4$. (Подходит, $4 \in [1, 100]$)
$n=8: b_8 = 2^{8-5} = 2^3 = 8$. (Подходит, $8 \in [1, 100]$)
$n=9: b_9 = 2^{9-5} = 2^4 = 16$. (Подходит, $16 \in [1, 100]$)
$n=10: b_{10} = 2^{10-5} = 2^5 = 32$. (Подходит, $32 \in [1, 100]$)
$n=11: b_{11} = 2^{11-5} = 2^6 = 64$. (Подходит, $64 \in [1, 100]$)
$n=12: b_{12} = 2^{12-5} = 2^7 = 128$. (Не подходит, $128 > 100$)
Таким образом, благоприятными исходами являются числа: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.
Всего 7 благоприятных исходов, $m = 7$.
Вероятность того, что выбранное число является членом данной прогрессии, равна:
$P(D) = \frac{7}{100} = 0,07$.
Ответ: 0,07.