Номер 24, страница 207, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

24. В урне 12 шаров: 4 красных, 4 желтых и 4 зеленых. Наудачу вынимаются три из них. Определите вероятность того, что:

а) все три шара окажутся одного цвета;

б) среди вынутых шаров не окажется зеленого;

в) все шары окажутся разноцветными.

Для решения задачи воспользуемся классической формулой вероятности $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

Всего в урне 12 шаров. Мы вынимаем 3 шара. Общее число способов сделать это (общее число исходов) равно числу сочетаний из 12 по 3:

$n = C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$.

Таким образом, общее число элементарных исходов равно 220.

а) все три шара окажутся одного цвета;

Событие "все три шара одного цвета" означает, что мы вынули либо 3 красных шара, либо 3 желтых, либо 3 зеленых. Эти три случая являются несовместными.

Число способов вынуть 3 красных шара из 4 имеющихся: $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$.

Аналогично, число способов вынуть 3 желтых шара из 4 равно $C_4^3 = 4$.

И число способов вынуть 3 зеленых шара из 4 также равно $C_4^3 = 4$.

Общее число благоприятных исходов $m_a$ равно сумме исходов для каждого цвета:

$m_a = C_4^3 + C_4^3 + C_4^3 = 4 + 4 + 4 = 12$.

Вероятность этого события:

$P(a) = \frac{m_a}{n} = \frac{12}{220} = \frac{3}{55}$.

Ответ: $\frac{3}{55}$.

б) среди вынутых шаров не окажется зеленого;

Это событие означает, что все три шара выбираются из оставшихся цветов (красных и желтых). Всего таких шаров: $4$ красных $+ 4$ желтых $= 8$ шаров.

Число способов выбрать 3 шара из этих 8 шаров (число благоприятных исходов $m_б$):

$m_б = C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$.

Вероятность этого события:

$P(б) = \frac{m_б}{n} = \frac{56}{220} = \frac{14}{55}$.

Ответ: $\frac{14}{55}$.

в) все шары окажутся разноцветными.

Это событие означает, что мы должны вынуть 1 красный, 1 желтый и 1 зеленый шар.

Число способов выбрать 1 красный шар из 4: $C_4^1 = 4$.

Число способов выбрать 1 желтый шар из 4: $C_4^1 = 4$.

Число способов выбрать 1 зеленый шар из 4: $C_4^1 = 4$.

По правилу умножения в комбинаторике, общее число способов вынуть три разноцветных шара (число благоприятных исходов $m_в$) равно произведению этих способов:

$m_в = C_4^1 \cdot C_4^1 \cdot C_4^1 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.

Вероятность этого события:

$P(в) = \frac{m_в}{n} = \frac{64}{220} = \frac{16}{55}$.

Ответ: $\frac{16}{55}$.