Номер 21, страница 206, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

21. На плоскости отмечено 4 зеленых и 9 голубых точек. Рассматриваются все отрезки с концами в отмеченных точках. Какова вероятность того, что наугад выбранный отрезок:

а) имеет оба конца голубыми;

б) имеет концы разного цвета;

в) имеет одноцветные концы?

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. На плоскости отмечено 4 зеленых и 9 голубых точек, всего $4 + 9 = 13$ точек. Отрезок задается двумя точками, поэтому общее число возможных отрезков равно числу сочетаний из 13 по 2.

Общее число исходов $N$ вычисляется по формуле числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$N = C_{13}^2 = \frac{13!}{2!(13-2)!} = \frac{13!}{2!11!} = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78$.

Таким образом, всего можно построить 78 различных отрезков.

а) имеет оба конца голубыми

Событие A — наугад выбранный отрезок имеет оба конца голубыми. Число благоприятствующих этому событию исходов равно числу отрезков, которые можно провести между 9 голубыми точками. Это число сочетаний из 9 по 2.

$N_a = C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$.

Вероятность события A равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{N_a}{N} = \frac{36}{78}$.

Сократив дробь на 6, получаем:

$P(A) = \frac{6}{13}$.

Ответ: $\frac{6}{13}$

б) имеет концы разного цвета

Событие B — наугад выбранный отрезок имеет концы разного цвета. Это означает, что один конец отрезка — зеленая точка, а другой — голубая. Число способов выбрать одну зеленую точку из 4 равно $C_4^1 = 4$. Число способов выбрать одну голубую точку из 9 равно $C_9^1 = 9$.

По правилу произведения, число благоприятствующих этому событию исходов равно:

$N_b = C_4^1 \times C_9^1 = 4 \times 9 = 36$.

Вероятность события B равна:

$P(B) = \frac{N_b}{N} = \frac{36}{78} = \frac{6}{13}$.

Ответ: $\frac{6}{13}$

в) имеет одноцветные концы

Событие C — наугад выбранный отрезок имеет одноцветные концы. Это означает, что оба конца отрезка либо зеленые, либо голубые. Это объединение двух несовместных событий.

Число отрезков с голубыми концами мы уже нашли в пункте а): $N_{голубые} = 36$.

Найдем число отрезков с зелеными концами. Это число сочетаний из 4 зеленых точек по 2:

$N_{зеленые} = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.

Общее число благоприятствующих исходов для события C равно сумме числа "голубых" и "зеленых" отрезков:

$N_c = N_{голубые} + N_{зеленые} = 36 + 6 = 42$.

Вероятность события C равна:

$P(C) = \frac{N_c}{N} = \frac{42}{78} = \frac{7}{13}$.

Альтернативно, событие "имеет одноцветные концы" является противоположным событию "имеет концы разного цвета" (пункт б). Поэтому его вероятность можно было найти как $P(C) = 1 - P(B) = 1 - \frac{6}{13} = \frac{7}{13}$.

Ответ: $\frac{7}{13}$