Номер 11, страница 205, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. На одной из параллельных прямых отмечено 10 точек, а на другой –

12. Рассматриваются треугольники с вершинами в отмеченных точках. Какова вероятность того, что наугад указанный треугольник имеет две из трех своих вершин на первой прямой?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

У нас есть две параллельные прямые. На первой прямой ($L_1$) находится 10 точек, а на второй ($L_2$) — 12 точек.

Чтобы построить треугольник, необходимо выбрать 3 точки, которые не лежат на одной прямой. Это означает, что все три вершины не могут быть выбраны с одной и той же прямой.

1. Найдем общее число возможных треугольников (n)

Треугольники могут быть сформированы двумя способами:

а) Две вершины выбраны с прямой $L_1$ и одна вершина — с прямой $L_2$.

б) Одна вершина выбрана с прямой $L_1$ и две вершины — с прямой $L_2$.

Посчитаем количество треугольников для случая (а).
Число способов выбрать 2 точки из 10 на $L_1$ — это число сочетаний из 10 по 2:$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$.
Число способов выбрать 1 точку из 12 на $L_2$: $C_{12}^1 = 12$.
Итого, количество треугольников этого типа: $N_1 = C_{10}^2 \cdot C_{12}^1 = 45 \cdot 12 = 540$.

Посчитаем количество треугольников для случая (б).
Число способов выбрать 1 точку из 10 на $L_1$: $C_{10}^1 = 10$.
Число способов выбрать 2 точки из 12 на $L_2$: $C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66$.
Итого, количество треугольников этого типа: $N_2 = C_{10}^1 \cdot C_{12}^2 = 10 \cdot 66 = 660$.

Общее число возможных треугольников $n$ равно сумме $N_1$ и $N_2$:

$n = N_1 + N_2 = 540 + 660 = 1200$.

2. Найдем число благоприятствующих исходов (m)

Благоприятствующим является событие, при котором треугольник имеет две из трех вершин на первой прямой ($L_1$). Это в точности соответствует случаю (а).

Следовательно, число благоприятствующих исходов $m$ равно $N_1$.

$m = 540$.

3. Вычислим вероятность

Вероятность $P$ равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{n} = \frac{540}{1200}$

Сократим эту дробь:

$P = \frac{54}{120} = \frac{9}{20} = 0,45$

Ответ: $0,45$