Страница 205, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Все шары окажутся разноцветными.

10. Три пассажира сели в автобус, у которого по маршруту впереди еще 8 остановок. Какова вероятность того, что:

а) все три пассажира выйдут на одной и той же остановке;

б) все три пассажира выйдут на разных остановках?

в) двое выйдут на одной остановке, а третий выйдет на другой?

Для решения задачи воспользуемся классической формулой вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

У нас есть 3 пассажира и 8 остановок. Каждый пассажир может выйти на любой из 8 остановок независимо от других. Таким образом, общее число всех возможных исходов $n$ можно найти как число размещений с повторениями из 8 элементов по 3:

$n = 8 \times 8 \times 8 = 8^3 = 512$.

а) все три пассажира выйдут на одной и той же остановке;

Пусть событие А заключается в том, что все пассажиры выходят на одной остановке. Благоприятным исходом будет выбор одной общей остановки для всех троих. Так как всего остановок 8, то и способов выбрать такую остановку тоже 8.

Число благоприятствующих исходов $m_a = 8$.

Вероятность события А равна:

$P(A) = \frac{m_a}{n} = \frac{8}{512} = \frac{1}{64}$.

Ответ: $\frac{1}{64}$.

б) все три пассажира выйдут на разных остановках?

Пусть событие Б заключается в том, что все пассажиры выходят на разных остановках. Найдем число благоприятствующих этому событию исходов $m_б$.

Первый пассажир может выбрать любую из 8 остановок.

Второй пассажир, чтобы выйти на другой остановке, может выбрать любую из оставшихся 7.

Третий пассажир может выбрать любую из оставшихся 6 остановок.

Число таких комбинаций равно числу размещений без повторений из 8 по 3:

$m_б = A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$.

Вероятность события Б равна:

$P(Б) = \frac{m_б}{n} = \frac{336}{512} = \frac{42}{64} = \frac{21}{32}$.

Ответ: $\frac{21}{32}$.

в) двое выйдут на одной остановке, а третий выйдет на другой?

Пусть событие В заключается в том, что двое выходят на одной остановке, а третий — на другой.

Способ 1: Прямой подсчет.

1. Сначала выберем двух пассажиров из трех, которые выйдут вместе. Это можно сделать $C_3^2$ способами: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$ способа.

2. Затем выберем остановку для этой пары. Есть 8 вариантов.

3. Оставшийся пассажир должен выйти на другой остановке. Для него остается 7 вариантов выбора.

Общее число благоприятствующих исходов $m_в$ равно произведению этих вариантов:

$m_в = C_3^2 \times 8 \times 7 = 3 \times 56 = 168$.

Вероятность события В равна:

$P(В) = \frac{m_в}{n} = \frac{168}{512}$. Сократив дробь на 8, получаем $\frac{21}{64}$.

Способ 2: Использование суммы вероятностей.

События а), б) и в) являются несовместными и образуют полную группу, то есть одно из них обязательно произойдет. Сумма их вероятностей равна 1.

$P(A) + P(Б) + P(В) = 1$.

Отсюда можно выразить вероятность события В:

$P(В) = 1 - P(A) - P(Б) = 1 - \frac{1}{64} - \frac{21}{32} = 1 - \frac{1}{64} - \frac{42}{64} = \frac{64 - 1 - 42}{64} = \frac{21}{64}$.

Оба способа дают один и тот же результат.

Ответ: $\frac{21}{64}$.

11. На одной из параллельных прямых отмечено 10 точек, а на другой –

12. Рассматриваются треугольники с вершинами в отмеченных точках. Какова вероятность того, что наугад указанный треугольник имеет две из трех своих вершин на первой прямой?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

У нас есть две параллельные прямые. На первой прямой ($L_1$) находится 10 точек, а на второй ($L_2$) — 12 точек.

Чтобы построить треугольник, необходимо выбрать 3 точки, которые не лежат на одной прямой. Это означает, что все три вершины не могут быть выбраны с одной и той же прямой.

1. Найдем общее число возможных треугольников (n)

Треугольники могут быть сформированы двумя способами:

а) Две вершины выбраны с прямой $L_1$ и одна вершина — с прямой $L_2$.

б) Одна вершина выбрана с прямой $L_1$ и две вершины — с прямой $L_2$.

Посчитаем количество треугольников для случая (а).
Число способов выбрать 2 точки из 10 на $L_1$ — это число сочетаний из 10 по 2:$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$.
Число способов выбрать 1 точку из 12 на $L_2$: $C_{12}^1 = 12$.
Итого, количество треугольников этого типа: $N_1 = C_{10}^2 \cdot C_{12}^1 = 45 \cdot 12 = 540$.

Посчитаем количество треугольников для случая (б).
Число способов выбрать 1 точку из 10 на $L_1$: $C_{10}^1 = 10$.
Число способов выбрать 2 точки из 12 на $L_2$: $C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66$.
Итого, количество треугольников этого типа: $N_2 = C_{10}^1 \cdot C_{12}^2 = 10 \cdot 66 = 660$.

Общее число возможных треугольников $n$ равно сумме $N_1$ и $N_2$:

$n = N_1 + N_2 = 540 + 660 = 1200$.

2. Найдем число благоприятствующих исходов (m)

Благоприятствующим является событие, при котором треугольник имеет две из трех вершин на первой прямой ($L_1$). Это в точности соответствует случаю (а).

Следовательно, число благоприятствующих исходов $m$ равно $N_1$.

$m = 540$.

3. Вычислим вероятность

Вероятность $P$ равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{n} = \frac{540}{1200}$

Сократим эту дробь:

$P = \frac{54}{120} = \frac{9}{20} = 0,45$

Ответ: $0,45$

из трех своих вершин на первой прямой:

12. На окружности отмечены 10 красных и 7 синих точек. Рассматриваются треугольники с вершинами в отмеченных точках. Какова вероятность того, что наугад выбранный треугольник:
а) имеет все три вершины красные;
б) имеет все три вершины одного цвета?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных, элементарных исходов, а $m$ — число элементарных исходов, благоприятствующих событию A.

Всего на окружности отмечено $10$ красных и $7$ синих точек, то есть $10 + 7 = 17$ точек.

Общее число способов выбрать 3 точки из 17 для построения треугольника равно числу сочетаний из 17 по 3. Это и будет общее число элементарных исходов $n$.

$n = C_{17}^3 = \frac{17!}{3!(17-3)!} = \frac{17!}{3!14!} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 17 \cdot 8 \cdot 5 = 680$.

Таким образом, всего можно построить 680 различных треугольников.

а) имеет все три вершины красные;

Событие A — выбранный треугольник имеет все три вершины красные. Число благоприятствующих этому событию исходов $m_a$ равно числу способов выбрать 3 красные вершины из 10 имеющихся красных точек.

$m_a = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

Вероятность того, что у треугольника все вершины красные, равна:

$P(A) = \frac{m_a}{n} = \frac{120}{680} = \frac{12}{68} = \frac{3}{17}$.

Ответ: $\frac{3}{17}$.

б) имеет все три вершины одного цвета?

Событие B — выбранный треугольник имеет все три вершины одного цвета. Это означает, что треугольник либо полностью красный, либо полностью синий. Эти два варианта являются несовместными событиями, поэтому их вероятности можно сложить. Или, что то же самое, можно сложить число благоприятствующих исходов.

Число треугольников с красными вершинами мы уже нашли: $120$.

Теперь найдем число треугольников с синими вершинами. Для этого нужно выбрать 3 вершины из 7 синих точек.

$m_{синие} = C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.

Общее число исходов, благоприятствующих событию B, равно сумме числа "красных" треугольников и "синих" треугольников:

$m_b = m_a + m_{синие} = 120 + 35 = 155$.

Вероятность того, что у треугольника все вершины одного цвета, равна:

$P(B) = \frac{m_b}{n} = \frac{155}{680}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$P(B) = \frac{155 \div 5}{680 \div 5} = \frac{31}{136}$.

Ответ: $\frac{31}{136}$.

13. Айсулу, любимая дочка батыра Алпамыса, попросила себе на день рождения одного скакуна из жайлау. Батыр Алпамыс никогда ни в чем не отказывает своей дочке. В жайлау ровно 3600 лошадей, 1200 из которых – соловые, 900 – бурые, а остальные являются чалыми. Определите вероятность того, что:

а) Айсулу достанется соловый конь;

б) Айсулу достанется не чалый конь;

в) Айсулу достанется чубарый конь.

Для решения данной задачи мы будем использовать классическое определение вероятности, которое вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — это общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — это число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию.

Сначала определим все исходные данные:

Общее число лошадей в жайлау: $n = 3600$.

Количество соловых лошадей: $1200$.

Количество бурых лошадей: $900$.

Остальные лошади являются чалыми. Найдем их количество, вычтя из общего числа лошадей количество соловых и бурых:

Количество чалых лошадей = $3600 - (1200 + 900) = 3600 - 2100 = 1500$.

Теперь можем перейти к вычислению вероятностей для каждого случая.

а) Айсулу достанется соловый конь;

В этом случае число благоприятствующих исходов $m$ равно количеству соловых лошадей, то есть $m = 1200$.

Общее число исходов $n$ равно общему количеству лошадей, то есть $n = 3600$.

Вероятность того, что Айсулу достанется соловый конь, рассчитывается как отношение числа соловых лошадей к общему числу лошадей:

$P(\text{соловый}) = \frac{m}{n} = \frac{1200}{3600} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) Айсулу достанется не чалый конь;

Событие "достанется не чалый конь" означает, что конь будет либо соловым, либо бурым. Число благоприятствующих исходов $m$ в этом случае равно сумме количества соловых и бурых лошадей:

$m = 1200 (\text{соловые}) + 900 (\text{бурые}) = 2100$.

Вероятность этого события равна:

$P(\text{не чалый}) = \frac{m}{n} = \frac{2100}{3600} = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$

Ответ: $\frac{7}{12}$

в) Айсулу достанется чубарый конь.

Согласно условию, в жайлау есть только три масти лошадей: соловые, бурые и чалые. Их общее количество $1200 + 900 + 1500 = 3600$, что соответствует общему числу лошадей. Это означает, что лошадей других мастей, в том числе чубарых, в жайлау нет.

Таким образом, число благоприятствующих этому событию исходов $m = 0$.

Вероятность того, что Айсулу достанется чубарый конь, равна:

$P(\text{чубарый}) = \frac{m}{n} = \frac{0}{3600} = 0$

Ответ: $0$

14. Испытание состоит в однократном подбрасывании игрального кубика.

Определите вероятность того, что:

а) выпадет число 3 или 5;

б) выпадет делитель числа 6;

в) выпадет не больше, чем 8.

При однократном подбрасывании стандартного игрального кубика существует 6 равновозможных исходов: выпадение чисел 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Общее число всех возможных исходов $n=6$. Вероятность события вычисляется по классической формуле $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число исходов.

а) выпадет число 3 или 5;

Событию "выпадет число 3 или 5" благоприятствуют 2 исхода: выпадение числа 3 и выпадение числа 5. Следовательно, число благоприятных исходов $m = 2$.

Вероятность этого события равна:

$P = \frac{m}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) выпадет делитель числа 6;

Делителями числа 6 являются числа 1, 2, 3 и 6. Все эти числа есть на гранях игрального кубика.

Следовательно, событию "выпадет делитель числа 6" благоприятствуют 4 исхода: выпадение чисел 1, 2, 3, 6. Число благоприятных исходов $m = 4$.

Вероятность этого события равна:

$P = \frac{m}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

в) выпадет не больше, чем 8.

Событие "выпадет не больше, чем 8" означает, что выпавшее число должно быть меньше или равно 8. Все возможные исходы при броске кубика (1, 2, 3, 4, 5, 6) удовлетворяют этому условию.

Таким образом, все 6 исходов являются благоприятными, то есть $m = 6$. Такое событие называется достоверным.

Вероятность этого события равна:

$P = \frac{m}{n} = \frac{6}{6} = 1$

Ответ: 1.

15. В коробке находятся 3 красных шара и 5 зеленых. По очереди достают шары без возврата. Какова вероятность того, что:

а) первый наугад вынутый шар окажется красным;

б) два первых шара окажутся красными;

в) первый шар окажется красным, а второй – зеленым?

Для решения задачи сначала определим общее количество шаров в коробке. В коробке находятся 3 красных и 5 зеленых шаров, следовательно, общее количество шаров равно $3 + 5 = 8$. Извлечение шаров происходит без возврата, это значит, что после каждого шага общее количество шаров в коробке уменьшается на один.

а) первый наугад вынутый шар окажется красным;
Вероятность этого события вычисляется по классической формуле вероятности: отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Число благоприятных исходов (количество красных шаров) равно 3.
Общее число исходов (общее количество шаров) равно 8.
Таким образом, вероятность $P_а$ того, что первый вынутый шар окажется красным, равна:
$P_а = \frac{\text{количество красных шаров}}{\text{общее количество шаров}} = \frac{3}{8}$
Ответ: $\frac{3}{8}$

б) два первых шара окажутся красными;
Это событие состоит из двух последовательных зависимых событий:
1. Вероятность того, что первый шар окажется красным, равна $\frac{3}{8}$ (как в пункте а).
2. После того, как достали один красный шар, в коробке осталось 7 шаров, из которых 2 красных. Следовательно, вероятность того, что второй шар также будет красным (при условии, что первый был красным), равна $\frac{2}{7}$.
Вероятность $P_б$ того, что оба этих события произойдут, равна произведению их вероятностей:
$P_б = \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}$
Ответ: $\frac{3}{28}$

в) первый шар окажется красным, а второй – зеленым?
Это событие также состоит из двух последовательных зависимых событий:
1. Вероятность того, что первый шар окажется красным, равна $\frac{3}{8}$.
2. После того, как достали один красный шар, в коробке осталось 7 шаров. Количество зеленых шаров не изменилось и равно 5. Следовательно, вероятность того, что второй шар будет зеленым (при условии, что первый был красным), равна $\frac{5}{7}$.
Вероятность $P_в$ того, что произойдут оба этих события, равна произведению их вероятностей:
$P_в = \frac{3}{8} \times \frac{5}{7} = \frac{15}{56}$
Ответ: $\frac{15}{56}$

16. В коробке находятся 3 красных шара и 5 зеленых. По очереди достают шары и возвращают в коробку. Какова вероятность того, что:

а) первый наугад вынутый шар окажется красным;

б) два первых шара окажутся красными;

в) первый шар окажется красным, а второй – зеленым?

Для решения задачи сначала определим общее количество шаров и вероятности извлечения шара каждого цвета за одно испытание.
Общее количество шаров в коробке: $3 \text{ красных} + 5 \text{ зеленых} = 8 \text{ шаров}$.
Поскольку шары после каждого извлечения возвращают в коробку, состав шаров не меняется, и каждое следующее извлечение является независимым событием.
Вероятность вынуть красный шар (К) в одном испытании: $P(К) = \frac{\text{число красных шаров}}{\text{общее число шаров}} = \frac{3}{8}$.
Вероятность вынуть зеленый шар (З) в одном испытании: $P(З) = \frac{\text{число зеленых шаров}}{\text{общее число шаров}} = \frac{5}{8}$.

а) первый наугад вынутый шар окажется красным;
Это вероятность одного события — извлечения красного шара. Она равна отношению числа благоприятных исходов (3 красных шара) к общему числу возможных исходов (8 шаров).
$P(\text{первый красный}) = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$

б) два первых шара окажутся красными;
Это событие заключается в том, что первый вынутый шар — красный, И второй вынутый шар — тоже красный. Так как извлечения независимы (шар возвращается в коробку), вероятность одновременного наступления этих двух событий равна произведению их вероятностей.
$P(\text{первый К и второй К}) = P(К) \cdot P(К) = \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{64}$.
Ответ: $\frac{9}{64}$

в) первый шар окажется красным, а второй – зеленым?
Это событие заключается в том, что первый вынутый шар — красный, А второй — зеленый. Поскольку события независимы, искомая вероятность также равна произведению вероятностей каждого из этих событий.
$P(\text{первый К и второй З}) = P(К) \cdot P(З) = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{15}{64}$.
Ответ: $\frac{15}{64}$