Страница 211, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

7. На отрезок $ [-4;7] $ числовой оси наугад бросают точку. Какова вероятность того, что точка упадет на множество решений неравенства $ x^2 + 2x - 3 \le 0? $

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае, длины) множества благоприятных исходов к мере всего пространства исходов.

1. Найдем длину всего отрезка, на который бросают точку. Этот отрезок $L_{общий} = [-4; 7]$. Его длина равна:$L_{общий} = 7 - (-4) = 11$.

2. Теперь найдем множество решений неравенства $x^2 + 2x - 3 \le 0$. Для этого сначала решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$, чтобы найти корни параболы.Вычислим дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.Найдем корни уравнения:$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$.$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$.

3. Так как ветви параболы $y = x^2 + 2x - 3$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), неравенство $x^2 + 2x - 3 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями. Таким образом, множество решений неравенства — это отрезок $[-3; 1]$.

4. Благоприятным исходом является попадание точки в ту часть отрезка $[-4; 7]$, которая также является решением неравенства. То есть, нам нужно найти пересечение двух множеств: $[-4; 7]$ и $[-3; 1]$.Пересечением этих двух отрезков является отрезок $[-3; 1]$.

5. Найдем длину отрезка благоприятных исходов $L_{благоприятный} = [-3; 1]$. Его длина равна:$L_{благоприятный} = 1 - (-3) = 4$.

6. Искомая вероятность $P$ равна отношению длины благоприятного отрезка к длине общего отрезка:$P = \frac{L_{благоприятный}}{L_{общий}} = \frac{4}{11}$.

Ответ: $\frac{4}{11}$

8. На тригонометрической окружности отметили дугу, соответствующую решениям неравенства $cos x \le \frac{1}{2}$. Какова вероятность того, что наугад указанное число x принадлежит отмеченной дуге?

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность того, что случайно выбранная точка на окружности попадет на заданную дугу, равна отношению длины этой дуги к длине всей окружности.

1. Нахождение дуги, соответствующей решению неравенства

Рассмотрим неравенство $\cos(x) \le \frac{1}{2}$ на тригонометрической окружности. Значение $\cos(x)$ соответствует абсциссе (координате по оси X) точки на окружности, отвечающей углу $x$.

Сначала найдем значения $x$, для которых выполняется равенство $\cos(x) = \frac{1}{2}$. На одном полном обороте (в промежутке $[0, 2\pi]$) это углы: $x_1 = \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.

Неравенству $\cos(x) \le \frac{1}{2}$ соответствуют все точки на окружности, у которых абсцисса меньше или равна $\frac{1}{2}$. Эти точки образуют дугу, которая начинается в точке, соответствующей углу $\frac{\pi}{3}$, и, двигаясь против часовой стрелки, заканчивается в точке, соответствующей углу $\frac{5\pi}{3}$.

2. Вычисление длины дуги

Длина (угловая мера в радианах) этой дуги вычисляется как разность между конечным и начальным углами: $L_{дуги} = \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

3. Вычисление вероятности

Длина всей тригонометрической окружности соответствует полному углу, равному $2\pi$ радиан. Вероятность $P$ того, что наугад указанное число $x$ принадлежит отмеченной дуге, находится как отношение длины благоприятствующей дуги к длине всей окружности: $P = \frac{L_{дуги}}{L_{окружности}} = \frac{\frac{4\pi}{3}}{2\pi}$.

Упростим это выражение: $P = \frac{4\pi}{3 \cdot 2\pi} = \frac{4\pi}{6\pi} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

9. В правильный треугольник вписан круг. В треугольник наудачу бросают точку. Какова вероятность того, что брошенная точка окажется внутри круга? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

Данная задача относится к классу задач на геометрическую вероятность. Вероятность того, что случайно брошенная в треугольник точка попадет внутрь вписанного круга, равна отношению площади этого круга к площади треугольника.

Пусть $P$ — искомая вероятность, $S_{\text{круга}}$ — площадь вписанного круга, а $S_{\text{треуг}}$ — площадь правильного треугольника. Тогда:

$P = \frac{S_{\text{круга}}}{S_{\text{треуг}}}$

Для решения задачи найдем выражения для площадей обеих фигур. Пусть сторона правильного треугольника равна $a$.

1. Площадь правильного треугольника.

Площадь правильного (равностороннего) треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\text{треуг}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Площадь вписанного круга.

Сначала найдем радиус $r$ вписанного круга. Для правильного треугольника радиус вписанной окружности связан с его стороной $a$ формулой:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Теперь можем найти площадь круга по формуле $S = \pi r^2$:

$S_{\text{круга}} = \pi \cdot \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{a^2}{4 \cdot 3} = \frac{\pi a^2}{12}$

3. Вычисление вероятности.

Подставим найденные выражения для площадей в формулу вероятности:

$P = \frac{S_{\text{круга}}}{S_{\text{треуг}}} = \frac{\frac{\pi a^2}{12}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}$

Как видно, величина $a^2$ сокращается, то есть вероятность не зависит от размера треугольника.

$P = \frac{\pi}{12} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\pi}{12\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$

4. Численный расчет и округление.

Для получения конечного ответа вычислим значение этого выражения, используя приближенные значения $\pi \approx 3.14159$ и $\sqrt{3} \approx 1.73205$.

$P \approx \frac{3.14159}{3 \cdot 1.73205} = \frac{3.14159}{5.19615} \approx 0.604599...$

Округляем результат до 3-го знака после запятой. Так как четвертая цифра после запятой равна 5, то третью цифру (4) увеличиваем на единицу.

$P \approx 0.605$

Ответ: 0.605

10. В круг вписан квадрат. В круг наугад бросают точку. Какова вероятность того, что точка окажется внутри квадрата? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

10.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность того, что точка, брошенная наугад в некоторую область, попадет в её подобласть, равна отношению площади этой подобласти к площади всей области. В нашем случае общая область — это круг, а интересующая нас подобласть — вписанный в него квадрат.

Пусть $S_{circle}$ — это площадь круга, а $S_{square}$ — это площадь вписанного квадрата.

Искомая вероятность $P$ находится по формуле: $P = \frac{S_{square}}{S_{circle}}$

Для вычисления площадей введем радиус круга $R$. Площадь круга выражается формулой: $S_{circle} = \pi R^2$

Теперь найдем площадь квадрата. Когда квадрат вписан в круг, его диагональ $d$ совпадает с диаметром круга, то есть $d = 2R$.

Связь между диагональю квадрата $d$ и его стороной $a$ определяется по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю квадрата: $a^2 + a^2 = d^2$, что упрощается до $2a^2 = d^2$.

Подставим в это соотношение $d = 2R$: $2a^2 = (2R)^2$ $2a^2 = 4R^2$

Отсюда можно найти $a^2$, что и является площадью квадрата $S_{square}$: $a^2 = \frac{4R^2}{2} = 2R^2$ Итак, $S_{square} = 2R^2$.

Теперь мы можем вычислить вероятность, подставив найденные площади в исходную формулу: $P = \frac{S_{square}}{S_{circle}} = \frac{2R^2}{\pi R^2}$

Величина $R^2$ сокращается, и мы получаем, что вероятность не зависит от размера круга: $P = \frac{2}{\pi}$

Осталось вычислить это значение и округлить его с точностью до 3-го знака после запятой. Принимая $\pi \approx 3.14159...$: $P \approx \frac{2}{3.14159...} \approx 0.6366197...$

При округлении до тысячных (третьего знака после запятой) смотрим на четвертый знак. Так как он равен 6 (что больше или равно 5), то третий знак увеличиваем на единицу: $P \approx 0.637$

Ответ: 0.637

11. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 и катетом 5 вписан круг.

а) Какова вероятность, что произвольная точка треугольника окажется внутренней точкой круга? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

б) Какова вероятность, что произвольная точка треугольника не окажется внутренней точкой круга? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

Для решения этой задачи по геометрической вероятности нам необходимо найти отношение площади вписанного круга к площади треугольника. Это отношение и будет искомой вероятностью.

Сначала найдем все параметры треугольника. Нам дан прямоугольный треугольник с гипотенузой $c = 13$ и одним из катетов, пусть это будет $a = 5$.

Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$5^2 + b^2 = 13^2$

$25 + b^2 = 169$

$b^2 = 169 - 25 = 144$

$b = \sqrt{144} = 12$

Теперь мы знаем оба катета: $a=5$ и $b=12$.

Площадь прямоугольного треугольника ($S_{тр}$) вычисляется по формуле:

$S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$

Далее найдем радиус ($r$) вписанного в прямоугольный треугольник круга. Для этого существует специальная формула:

$r = \frac{a+b-c}{2}$

$r = \frac{5+12-13}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь можем найти площадь вписанного круга ($S_{кр}$):

$S_{кр} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$

Теперь у нас есть все данные для вычисления вероятностей.

а) Какова вероятность, что произвольная точка треугольника окажется внутренней точкой круга? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

Вероятность ($P_a$) того, что случайная точка, взятая внутри треугольника, окажется также внутри вписанного круга, равна отношению площади круга к площади треугольника:

$P_a = \frac{S_{кр}}{S_{тр}} = \frac{4\pi}{30} = \frac{2\pi}{15}$

Для получения численного ответа подставим значение $\pi \approx 3.14159...$:

$P_a \approx \frac{2 \cdot 3.14159}{15} \approx 0.418879...$

Округляя до 3-го знака после запятой, получаем 0.419.

Ответ: 0.419

б) Какова вероятность, что произвольная точка треугольника не окажется внутренней точкой круга? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

Событие, при котором точка не оказывается внутри круга, является противоположным событию из пункта (а). Вероятность такого события ($P_б$) можно найти, вычтя вероятность из пункта (а) из единицы:

$P_б = 1 - P_a = 1 - \frac{2\pi}{15}$

Используя вычисленное ранее значение $P_a$:

$P_б \approx 1 - 0.418879... \approx 0.581121...$

Округляя до 3-го знака после запятой, получаем 0.581.

Ответ: 0.581

12. В круге с центром в точке $O$ провели радиусы $OA$ и $OB$, угол между которыми равен $60^\circ$. Какова вероятность того, что произвольная точка круга окажется внутри малого сегмента, отделяемого отрезком $AB$?

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность того, что произвольная точка круга окажется внутри некоторой фигуры, равна отношению площади этой фигуры к площади всего круга.

1. Найдем площадь всего круга.
Пусть радиус круга равен $R$. Тогда площадь круга $S_{кр}$ вычисляется по формуле:$S_{кр} = \pi R^2$.

2. Найдем площадь малого сегмента, отделяемого отрезком AB.
Площадь сегмента ($S_{сегм}$) равна разности площади сектора $AOB$ ($S_{сект}$) и площади треугольника $AOB$ ($S_{\triangle AOB}$).$S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle AOB}$.

2.1. Площадь сектора AOB.
Центральный угол сектора $\angle AOB = 60^{\circ}$. Это составляет $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$ от полного круга.Следовательно, площадь сектора равна:$S_{сект} = \frac{60}{360} \cdot S_{кр} = \frac{1}{6} \pi R^2$.

2.2. Площадь треугольника AOB.
Треугольник $AOB$ образован двумя радиусами $OA$ и $OB$ и хордой $AB$. Так как $OA = OB = R$, треугольник является равнобедренным. Угол между равными сторонами $\angle AOB = 60^{\circ}$. В равнобедренном треугольнике с углом при вершине $60^{\circ}$ углы при основании также равны $(180^{\circ} - 60^{\circ})/2 = 60^{\circ}$. Таким образом, треугольник $AOB$ является равносторонним со стороной $R$.Площадь треугольника можно найти по формуле:$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} R \cdot R \cdot \sin(60^{\circ}) = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} R^2$.

2.3. Площадь сегмента.
Теперь вычтем площадь треугольника из площади сектора:$S_{сегм} = \frac{1}{6} \pi R^2 - \frac{\sqrt{3}}{4} R^2 = R^2 \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$.

3. Найдем искомую вероятность.
Вероятность $P$ равна отношению площади сегмента к площади круга:$P = \frac{S_{сегм}}{S_{кр}} = \frac{R^2 \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)}{\pi R^2}$.

Сократив $R^2$, получим:$P = \frac{\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}}{\pi} = \frac{\pi}{6\pi} - \frac{\sqrt{3}}{4\pi} = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4\pi}$.

Ответ: $\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4\pi}$.

13. Какая из следующих систем уравнений имеет по крайней мере одно решение в вещественных числах:

a) $ \frac{x}{y}=x+y=x-y $;

б) $ \frac{y}{x}=x-y=x+y $;

c) $ \frac{x}{y}=xy=x+y=x-y $;

Д) $ \frac{x}{y}=\frac{y}{x}=x-y=x+y $;

e) $ \frac{x}{y}=xy=x+y $.

Для того чтобы определить, какая из систем имеет хотя бы одно решение, проанализируем каждую из них по отдельности.

а) Система уравнений: $\frac{x}{y} = x+y = x-y$.

Рассмотрим равенство $x+y = x-y$. Вычитая $x$ из обеих частей, получаем $y = -y$, что эквивалентно $2y = 0$, откуда следует $y=0$. Однако в системе присутствует выражение $\frac{x}{y}$, которое определено только при $y \neq 0$. Полученное противоречие означает, что система не имеет решений в вещественных числах.

Ответ: решений нет.

б) Система уравнений: $\frac{y}{x} = x-y = x+y$.

Рассмотрим равенство $x-y = x+y$. Вычитая $x$ из обеих частей, получаем $-y = y$, что эквивалентно $2y = 0$, откуда следует $y=0$. Подставим $y=0$ в другое равенство системы, например, $\frac{y}{x} = x+y$. Получим $\frac{0}{x} = x+0$, что дает $x=0$. Таким образом, единственное возможное решение — это пара $(0, 0)$. Однако в системе присутствует выражение $\frac{y}{x}$, которое определено только при $x \neq 0$. Следовательно, найденная пара не является решением. Система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

c) Система уравнений: $\frac{x}{y} = xy = x+y = x-y$.

Эта система, как и система в пункте а), содержит равенство $x+y = x-y$, из которого следует, что $y=0$. Но наличие в системе выражения $\frac{x}{y}$ требует, чтобы $y \neq 0$. Возникает противоречие, поэтому система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Д) Система уравнений: $\frac{x}{y} = \frac{y}{x} = x-y = x+y$.

Эта система, как и система в пункте б), содержит равенство $x-y = x+y$, из которого следует, что $y=0$. Но наличие в системе выражения $\frac{x}{y}$ требует, чтобы $y \neq 0$. Возникает противоречие, поэтому система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

e) Система уравнений: $\frac{x}{y} = xy = x+y$.

Данная запись эквивалентна системе из двух уравнений:

1) $\frac{x}{y} = xy$

2) $xy = x+y$

Из-за наличия дроби $\frac{x}{y}$ должно выполняться условие $y \neq 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Так как $y \neq 0$, мы можем умножить обе части на $y$:

$x = xy^2$

$x - xy^2 = 0$

$x(1-y^2) = 0$

Это равенство выполняется в двух случаях: либо $x=0$, либо $1-y^2=0$.

Случай 1: $x=0$.

Подставим $x=0$ во второе уравнение системы: $0 \cdot y = 0 + y$, откуда получаем $y=0$. Это противоречит условию $y \neq 0$, поэтому $x$ не может быть равен нулю.

Случай 2: $1-y^2=0$.

Отсюда $y^2=1$, то есть $y=1$ или $y=-1$.

Если $y=1$, подставим это значение во второе уравнение: $x \cdot 1 = x+1$, что приводит к неверному равенству $x=x+1$ или $0=1$. Следовательно, $y \neq 1$.

Если $y=-1$, подставим это значение во второе уравнение: $x \cdot (-1) = x+(-1)$, то есть $-x = x-1$. Отсюда $2x = 1$ и $x = \frac{1}{2}$.

Мы нашли пару чисел $(x, y) = (\frac{1}{2}, -1)$. Проверим, является ли она решением исходной системы. Условие $y \neq 0$ выполнено. Подставим значения в выражения:

$\frac{x}{y} = \frac{1/2}{-1} = - \frac{1}{2}$

$xy = (\frac{1}{2}) \cdot (-1) = - \frac{1}{2}$

$x+y = \frac{1}{2} + (-1) = - \frac{1}{2}$

Все три части равны между собой. Таким образом, система имеет по крайней мере одно решение.

Ответ: система имеет решение, например, $x=\frac{1}{2}, y=-1$.

14. Вычислите значение выражения: $(1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})\dots(1 - \frac{1}{50^2})$

Данное выражение представляет собой произведение, которое можно записать в виде $\prod_{n=2}^{50} (1 - \frac{1}{n^2})$.

Для решения задачи преобразуем общий член произведения $1 - \frac{1}{n^2}$, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$1 - \frac{1}{n^2} = (1 - \frac{1}{n})(1 + \frac{1}{n})$

Теперь приведем каждую скобку к общему знаменателю:

$(1 - \frac{1}{n})(1 + \frac{1}{n}) = \left(\frac{n-1}{n}\right) \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right) = \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}$

Подставим это преобразование в исходное выражение. Получим произведение дробей:

$(1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})\dots(1 - \frac{1}{50^2}) = \frac{(2-1)(2+1)}{2^2} \cdot \frac{(3-1)(3+1)}{3^2} \cdot \frac{(4-1)(4+1)}{4^2} \cdot \dots \cdot \frac{(50-1)(50+1)}{50^2}$

Распишем произведение, подставив численные значения:

$\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdot \dots \cdot \frac{49 \cdot 51}{50 \cdot 50}$

Для удобства сгруппируем множители. Это можно представить как произведение двух рядов дробей:

$\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{49}{50}\right) \cdot \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \dots \cdot \frac{51}{50}\right)$

Это так называемое "телескопическое произведение", в котором промежуточные члены сокращаются. Вычислим значение для каждой скобки отдельно.

Первая скобка:

$\frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \dots \cdot \frac{\cancel{49}}{50} = \frac{1}{50}$

Вторая скобка:

$\frac{\cancel{3}}{2} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{4}} \cdot \dots \cdot \frac{51}{\cancel{50}} = \frac{51}{2}$

Теперь перемножим результаты двух скобок, чтобы получить окончательный ответ:

$\frac{1}{50} \cdot \frac{51}{2} = \frac{51}{100}$

Ответ: $\frac{51}{100}$