Страница 218, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

6. В одном мешке находятся 8 желтых шаров и 6 зеленых. В другом мешке находится 6 желтых и 11 зеленых. Наугад достают по одному шару из каждого мешка. Какова вероятность, что:

а) шар из первого мешка окажется желтым, а из второго окажется зелёным;

б) оба шара окажутся разного цвета?

Для решения задачи сначала определим общее количество шаров в каждом мешке.

В первом мешке находится $8$ желтых и $6$ зеленых шаров, следовательно, всего в нем $8 + 6 = 14$ шаров.

Во втором мешке находится $6$ желтых и $11$ зеленых шаров, следовательно, всего в нем $6 + 11 = 17$ шаров.

а) шар из первого мешка окажется желтым, а из второго окажется зелёным;

Вероятность вынуть желтый шар из первого мешка ($P_{Ж1}$) равна отношению числа желтых шаров к общему числу шаров в этом мешке: $P_{Ж1} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.

Вероятность вынуть зеленый шар из второго мешка ($P_{З2}$) равна отношению числа зеленых шаров к общему числу шаров в этом мешке: $P_{З2} = \frac{11}{17}$.

Извлечение шара из одного мешка не влияет на извлечение шара из другого, поэтому эти события являются независимыми. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

$P(A) = P_{Ж1} \times P_{З2} = \frac{4}{7} \times \frac{11}{17} = \frac{44}{119}$.

Ответ: $\frac{44}{119}$

б) оба шара окажутся разного цвета?

Событие "оба шара разного цвета" может произойти в двух несовместных случаях:

1. Шар из первого мешка — желтый, а из второго — зеленый. Вероятность этого случая мы уже рассчитали в пункте а): $P_1 = \frac{44}{119}$.

2. Шар из первого мешка — зеленый, а из второго — желтый. Найдем вероятность этого случая.

Вероятность вынуть зеленый шар из первого мешка: $P_{З1} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$.

Вероятность вынуть желтый шар из второго мешка: $P_{Ж2} = \frac{6}{17}$.

Вероятность второго случая: $P_2 = P_{З1} \times P_{Ж2} = \frac{3}{7} \times \frac{6}{17} = \frac{18}{119}$.

Так как эти два случая несовместны (не могут произойти одновременно), общая вероятность того, что шары будут разного цвета, равна сумме их вероятностей.

$P(Б) = P_1 + P_2 = \frac{44}{119} + \frac{18}{119} = \frac{44 + 18}{119} = \frac{62}{119}$.

Ответ: $\frac{62}{119}$

7. Испытание состоит в трехкратном подбрасывании игрального кубика. Какова вероятность того, что случатся все три события: первый раз выпадет нечетное число, во второй раз выпадет не меньше 5, в третий раз выпадет 2?

Данное испытание состоит из трех независимых событий: трех последовательных бросков игрального кубика. Чтобы найти вероятность того, что все три указанных события произойдут, нужно вычислить вероятность каждого из них по отдельности, а затем перемножить полученные вероятности.

Вероятность первого события: первый раз выпадет нечетное число.
Стандартный игральный кубик имеет 6 граней: 1, 2, 3, 4, 5, 6.Нечетные числа на кубике: 1, 3, 5.Количество благоприятных исходов: 3.Общее количество возможных исходов: 6.Вероятность $P_1$ того, что выпадет нечетное число, равна:$P_1 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Вероятность второго события: во второй раз выпадет не меньше 5.
"Не меньше 5" означает, что может выпасть либо 5, либо 6.Количество благоприятных исходов: 2.Общее количество возможных исходов: 6.Вероятность $P_2$ этого события равна:$P_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Вероятность третьего события: в третий раз выпадет 2.
Выпадение числа 2 является одним конкретным исходом.Количество благоприятных исходов: 1.Общее количество возможных исходов: 6.Вероятность $P_3$ этого события равна:$P_3 = \frac{1}{6}$

Итоговая вероятность.
Поскольку броски кубика являются независимыми событиями, вероятность того, что все три события произойдут вместе, равна произведению их индивидуальных вероятностей:$P_{общая} = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

Ответ: $\frac{1}{36}$

8. В каждом из трех ящиков находится по 20 спелых и 10 неспелых яблок. Наугад достают по одному яблоку из каждого ящика. Какова вероятность того, что:

а) яблоки из первого и третьего ящика окажутся неспелыми, а яблоко из второго ящика – спелым;

б) среди трех вынутых яблок ровно 2 окажутся неспелыми?

Для начала определим основные вероятности для одного ящика. В каждом ящике находится 20 спелых и 10 неспелых яблок. Всего яблок в каждом ящике: $20 + 10 = 30$.

Вероятность достать спелое яблоко (С) из любого ящика: $P(С) = \frac{\text{количество спелых яблок}}{\text{общее количество яблок}} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$

Вероятность достать неспелое яблоко (Н) из любого ящика: $P(Н) = \frac{\text{количество неспелых яблок}}{\text{общее количество яблок}} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

События, заключающиеся в вынимании яблока из каждого из трех ящиков, являются независимыми.

а) яблоки из первого и третьего ящика окажутся неспелыми, а яблоко из второго ящика – спелым;

Нам нужно найти вероятность наступления конкретной последовательности событий: неспелое из первого ящика (Н1), спелое из второго (С2) и неспелое из третьего (Н3). Так как события независимы, вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей: $P = P(Н1) \times P(С2) \times P(Н3)$

Подставляем найденные значения вероятностей: $P = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1 \times 2 \times 1}{3 \times 3 \times 3} = \frac{2}{27}$

Ответ: $\frac{2}{27}$

б) среди трех вынутых яблок ровно 2 окажутся неспелыми?

Это сложное событие, которое означает, что из трех яблок мы достали два неспелых и одно спелое. Существует три возможных комбинации, удовлетворяющих этому условию:

1. Неспелое, Неспелое, Спелое (Н, Н, С)

2. Неспелое, Спелое, Неспелое (Н, С, Н)

3. Спелое, Неспелое, Неспелое (С, Н, Н)

Найдем вероятность для каждой из этих комбинаций. Так как порядок извлечения для каждого ящика фиксирован, а события независимы, вероятности перемножаются:

Вероятность комбинации (Н, Н, С): $P(ННС) = P(Н) \times P(Н) \times P(С) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{27}$

Вероятность комбинации (Н, С, Н): $P(НСН) = P(Н) \times P(С) \times P(Н) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$

Вероятность комбинации (С, Н, Н): $P(СНН) = P(С) \times P(Н) \times P(Н) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$

Эти три комбинации являются несовместными событиями (они не могут произойти одновременно). Поэтому искомая общая вероятность равна сумме их вероятностей: $P(\text{ровно 2 неспелых}) = P(ННС) + P(НСН) + P(СНН) = \frac{2}{27} + \frac{2}{27} + \frac{2}{27} = 3 \times \frac{2}{27} = \frac{6}{27}$

Сократим полученную дробь: $\frac{6}{27} = \frac{2}{9}$

Ответ: $\frac{2}{9}$

9. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0.7. Он произвел 2 выстрела.

Какова вероятность того, что стрелок:

а) оба раза промахнулся;

б) ровно один раз промахнулся;

в) оба раза попал в цель?

Для решения этой задачи определим вероятности основных событий для одного выстрела.
Пусть событие $A$ — это попадание в цель. По условию, вероятность этого события $P(A) = 0,7$.
Тогда противоположное событие $\bar{A}$ — это промах. Вероятность промаха можно найти как $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
$P(\bar{A}) = 1 - 0,7 = 0,3$.
Так как выстрелы являются независимыми событиями, мы можем использовать правило умножения вероятностей для нахождения вероятности совместного наступления событий.

а) оба раза промахнулся;
Вероятность того, что стрелок промахнется оба раза, равна произведению вероятностей двух промахов подряд.
$P(\text{промах и промах}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{A}) = 0,3 \times 0,3 = 0,09$.
Ответ: 0,09.

б) ровно один раз промахнулся;
Это событие может произойти в двух вариантах:
1. Первый выстрел - промах, второй - попадание. Вероятность этого $P(\bar{A}) \times P(A) = 0,3 \times 0,7 = 0,21$.
2. Первый выстрел - попадание, второй - промах. Вероятность этого $P(A) \times P(\bar{A}) = 0,7 \times 0,3 = 0,21$.
Поскольку эти два варианта являются несовместными, итоговая вероятность равна сумме их вероятностей.
$P(\text{один промах}) = 0,21 + 0,21 = 0,42$.
Ответ: 0,42.

в) оба раза попал в цель?
Вероятность того, что стрелок попадет в цель оба раза, равна произведению вероятностей двух попаданий подряд.
$P(\text{попадание и попадание}) = P(A) \times P(A) = 0,7 \times 0,7 = 0,49$.
Ответ: 0,49.

10. Робин Гуд попадает из лука с 30 шагов в тыкву с вероятностью 0,9, а в яблоко – с вероятностью 0,4. Он собирается стрелять один раз в тыкву, а второй раз – в яблоко. Какова вероятность, что:

а) он не попадет в тыкву;

б) он попадет в яблоко;

в) он попадет ровно в яблоко;

г) он попадет в точности в один предмет;

д) он попадет хотя бы в один из предметов?

Для решения задачи введем следующие обозначения для событий и их вероятностей:

Событие Т: Робин Гуд попадает в тыкву. Вероятность этого события по условию $P(Т) = 0,9$.

Событие Я: Робин Гуд попадает в яблоко. Вероятность этого события по условию $P(Я) = 0,4$.

Выстрел в тыкву и выстрел в яблоко — это независимые события.

Найдем вероятности противоположных событий (промахов):

Событие Т' (не попасть в тыкву): $P(Т') = 1 - P(Т) = 1 - 0,9 = 0,1$.

Событие Я' (не попасть в яблоко): $P(Я') = 1 - P(Я) = 1 - 0,4 = 0,6$.

а) он не попадет в тыкву;

Вероятность того, что Робин Гуд не попадет в тыкву, является вероятностью события Т'. Результат второго выстрела (по яблоку) не влияет на этот исход.

$P(Т') = 1 - 0,9 = 0,1$.

Ответ: 0,1

б) он попадет в яблоко;

Вероятность этого события дана в условии задачи. Результат первого выстрела (по тыкве) не влияет на этот исход.

$P(Я) = 0,4$.

Ответ: 0,4

в) он попадет ровно в яблоко;

Это событие означает, что Робин Гуд не попадет в тыкву (событие Т') И попадет в яблоко (событие Я). Поскольку события независимы, для нахождения вероятности их одновременного наступления нужно перемножить их вероятности.

$P(Т' \cap Я) = P(Т') \times P(Я) = 0,1 \times 0,4 = 0,04$.

Ответ: 0,04

г) он попадет в точности в один предмет;

Это сложное событие, которое состоит из двух несовместных исходов:

1. Попал в тыкву (Т) И не попал в яблоко (Я').

2. Не попал в тыкву (Т') И попал в яблоко (Я).

Вероятность первого исхода: $P(Т \cap Я') = P(Т) \times P(Я') = 0,9 \times 0,6 = 0,54$.

Вероятность второго исхода: $P(Т' \cap Я) = P(Т') \times P(Я) = 0,1 \times 0,4 = 0,04$.

Так как эти исходы несовместны (не могут произойти одновременно), общая вероятность равна сумме их вероятностей.

$P(\text{одно попадание}) = P(Т \cap Я') + P(Т' \cap Я) = 0,54 + 0,04 = 0,58$.

Ответ: 0,58

д) он попадет хотя бы в один из предметов?

Событие "попадет хотя бы в один из предметов" является противоположным событию "промахнется по обоим предметам". Проще всего найти вероятность двойного промаха и вычесть ее из 1.

Вероятность промаха по обоим предметам — это вероятность того, что он не попадет в тыкву (Т') И не попадет в яблоко (Я').

$P(Т' \cap Я') = P(Т') \times P(Я') = 0,1 \times 0,6 = 0,06$.

Тогда вероятность попасть хотя бы в один предмет равна:

$P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - P(Т' \cap Я') = 1 - 0,06 = 0,94$.

Ответ: 0,94