Страница 219, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

11. Год 2037. Предстоит четвертьфинал Лиги чемпионов. Встречаются команды «Кайрат» – «Реал Мадрид», «Манчестер Юнайтед» – «Бавария», «Челси» – «Ювентус», «Зенит» – «Аякс». Вероятность того, что первая команда в паре победит вторую, равна соответственно 0,9, 0,2, 0,5 и 0,3. Определите вероятность следующих событий:

а) «Кайрат» не сможет выиграть у «Реал Мадрид»;

б) «Кайрат» не сможет выиграть у «Реал Мадрид» и «Манчестер Юнайтед» победит «Баварию»;

в) «Кайрат» выиграет у «Реал Мадрид», «Ювентус» не проиграет команде «Челси», а голландцы не проиграют россиянам.

а) «Кайрат» не сможет выиграть у «Реал Мадрид»;
Обозначим событие A – «Кайрат» победит «Реал Мадрид». По условию, вероятность этого события $P(A) = 0,9$. Событие «„Кайрат“ не сможет выиграть у „Реал Мадрид“» является противоположным (комплементарным) событию A, обозначим его как $\bar{A}$. Вероятность противоположного события вычисляется по формуле $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
Подставим известное значение: $P(\bar{A}) = 1 - 0,9 = 0,1$.
Ответ: 0,1.

б) «Кайрат» не сможет выиграть у «Реал Мадрид» и «Манчестер Юнайтед» победит «Баварию»;
Это составное событие, которое требует одновременного выполнения двух независимых событий:
1. «Кайрат» не сможет выиграть у «Реал Мадрид» (событие $\bar{A}$). Вероятность этого события, $P(\bar{A})$, была найдена в пункте а) и равна 0,1.
2. «Манчестер Юнайтед» победит «Баварию» (событие B). Вероятность этого события, $P(B)$, дана в условии и равна 0,2.
Поскольку исходы разных матчей являются независимыми событиями, вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей: $P(\bar{A} \text{ и } B) = P(\bar{A}) \times P(B)$.
Вычислим эту вероятность: $P(\bar{A} \text{ и } B) = 0,1 \times 0,2 = 0,02$.
Ответ: 0,02.

в) «Кайрат» выиграет у «Реал Мадрид», «Ювентус» не проиграет команде «Челси», а голландцы не проиграют россиянам.
Это составное событие, которое требует одновременного выполнения трех независимых событий.
1. Событие A: «„Кайрат“ выиграет у „Реал Мадрид“». Вероятность дана в условии: $P(A) = 0,9$.
2. Событие «„Ювентус“ не проиграет команде „Челси“». Это событие равносильно тому, что «Челси» не выиграет. Обозначим победу «Челси» как событие C с вероятностью $P(C) = 0,5$. Тогда событие, что «Челси» не выиграет ($\bar{C}$), имеет вероятность $P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0,5 = 0,5$.
3. Событие «голландцы („Аякс“) не проиграют россиянам („Зенит“)». Это событие равносильно тому, что «Зенит» не выиграет. Обозначим победу «Зенита» как событие D с вероятностью $P(D) = 0,3$. Тогда событие, что «Зенит» не выиграет ($\bar{D}$), имеет вероятность $P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0,3 = 0,7$.
Так как все три события независимы, итоговая вероятность равна произведению их вероятностей: $P(A \text{ и } \bar{C} \text{ и } \bar{D}) = P(A) \times P(\bar{C}) \times P(\bar{D})$.
Подставим значения и вычислим: $0,9 \times 0,5 \times 0,7 = 0,315$.
Ответ: 0,315.

12. Сколько корней имеет уравнение $|x-1|=x^2$?

Для того чтобы определить, сколько корней имеет уравнение $|x-1|=x^2$, необходимо решить его. Сделаем это аналитически, раскрыв модуль.

По определению абсолютной величины (модуля), мы должны рассмотреть два случая.

Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

При этом условии модуль раскрывается со знаком "плюс": $|x-1| = x-1$. Уравнение принимает вид:

$x-1 = x^2$

Перепишем его в стандартном виде квадратного уравнения:

$x^2 - x + 1 = 0$

Найдем дискриминант ($D$) этого уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$.

При этом условии модуль раскрывается со знаком "минус": $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Уравнение принимает вид:

$1 - x = x^2$

Перепишем его в стандартном виде:

$x^2 + x - 1 = 0$

Найдем дискриминант ($D$):

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$

Так как дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x < 1$.

Для корня $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$: это число очевидно отрицательное, а значит, меньше 1. Таким образом, $x_1$ является решением исходного уравнения.

Для корня $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$: оценим его значение. Поскольку $2 < \sqrt{5} < 3$, то $1 < -1+\sqrt{5} < 2$. Отсюда следует, что $0.5 < \frac{-1+\sqrt{5}}{2} < 1$. Так как $x_2 < 1$, этот корень также является решением.

В итоге мы получили два действительных корня, оба из которых удовлетворяют соответствующим условиям.

Также можно решить задачу графически, найдя число точек пересечения графиков функций $y=|x-1|$ и $y=x^2$. Графики пересекаются в двух точках, что подтверждает аналитическое решение.

Ответ: 2.

13. Если затраты на покупку огурцов возросли на 92%, а цена килограмма огурцов увеличилась на 60%, то насколько возрос вес купленных огурцов?

Пусть $З_1$ — начальные затраты, $Ц_1$ — начальная цена за килограмм, а $В_1$ — начальный вес купленных огурцов. Эти величины связаны соотношением: $З_1 = Ц_1 \times В_1$.

Согласно условию, затраты возросли на 92%, а цена — на 60%. Выразим новые значения ($З_2$ и $Ц_2$) через начальные:

$З_2 = З_1 \times (1 + \frac{92}{100}) = 1.92 \times З_1$

$Ц_2 = Ц_1 \times (1 + \frac{60}{100}) = 1.60 \times Ц_1$

Новый вес $В_2$ связан с новыми затратами и новой ценой аналогичным образом: $З_2 = Ц_2 \times В_2$.

Подставим в это равенство выражения для $З_2$ и $Ц_2$:$1.92 \times З_1 = (1.60 \times Ц_1) \times В_2$.

Теперь заменим $З_1$ на $Ц_1 \times В_1$:$1.92 \times (Ц_1 \times В_1) = 1.60 \times Ц_1 \times В_2$.

Поскольку начальная цена $Ц_1$ не равна нулю, мы можем сократить на нее обе части уравнения:$1.92 \times В_1 = 1.60 \times В_2$.

Отсюда найдем, как изменился вес, выразив отношение нового веса $В_2$ к начальному $В_1$:$\frac{В_2}{В_1} = \frac{1.92}{1.60} = \frac{192}{160} = 1.2$.

Это означает, что новый вес составляет 120% от начального ($В_2 = 1.2 \times В_1$). Чтобы найти, на сколько процентов возрос вес, необходимо рассчитать процентное изменение:

$(\frac{В_2}{В_1} - 1) \times 100\% = (1.2 - 1) \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\%$.

Таким образом, вес купленных огурцов возрос на 20%.

Ответ: 20%.