Страница 217, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1. В одном мешке находятся 5 желтых шаров и 6 зеленых. В другом мешке находится 7 желтых и 11 зеленых. Наудачу достают по одному шару из каждого мешка. Какова вероятность, что:

а) оба шара окажутся желтыми;

б) оба шара окажутся одноцветными?

Для решения задачи определим состав каждого мешка и вероятности извлечения шаров разного цвета.

В первом мешке: 5 желтых (Ж) и 6 зеленых (З) шаров. Всего $5 + 6 = 11$ шаров.
Вероятность достать желтый шар из первого мешка: $P(Ж_1) = \frac{5}{11}$.
Вероятность достать зеленый шар из первого мешка: $P(З_1) = \frac{6}{11}$.

Во втором мешке: 7 желтых и 11 зеленых шаров. Всего $7 + 11 = 18$ шаров.
Вероятность достать желтый шар из второго мешка: $P(Ж_2) = \frac{7}{18}$.
Вероятность достать зеленый шар из второго мешка: $P(З_2) = \frac{11}{18}$.

Извлечение шара из одного мешка является независимым событием по отношению к извлечению шара из другого мешка.

а) оба шара окажутся желтыми

Для того чтобы оба шара оказались желтыми, должен быть вытащен желтый шар из первого мешка И желтый шар из второго мешка. Вероятность этого события равна произведению вероятностей этих двух независимых событий.

$P(\text{оба желтые}) = P(Ж_1) \times P(Ж_2) = \frac{5}{11} \times \frac{7}{18} = \frac{35}{198}$.

Ответ: $\frac{35}{198}$

б) оба шара окажутся одноцветными

Событие "оба шара одноцветные" означает, что либо оба шара желтые, либо оба шара зеленые. Эти два исхода являются несовместными (не могут произойти одновременно), поэтому их вероятности нужно сложить.

Вероятность того, что оба шара желтые, мы уже вычислили в пункте а): $P(\text{оба желтые}) = \frac{35}{198}$.

Теперь найдем вероятность того, что оба шара окажутся зелеными. Для этого нужно, чтобы из первого мешка был вытащен зеленый шар И из второго мешка был вытащен зеленый шар.

$P(\text{оба зеленые}) = P(З_1) \times P(З_2) = \frac{6}{11} \times \frac{11}{18} = \frac{6 \times 11}{11 \times 18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.

Сложим вероятности этих двух несовместных событий:

$P(\text{одноцветные}) = P(\text{оба желтые}) + P(\text{оба зеленые}) = \frac{35}{198} + \frac{1}{3}$.

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 198:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 66}{3 \times 66} = \frac{66}{198}$.

Теперь выполним сложение:

$P(\text{одноцветные}) = \frac{35}{198} + \frac{66}{198} = \frac{35 + 66}{198} = \frac{101}{198}$.

Ответ: $\frac{101}{198}$

2. Испытание состоит в трехкратном подбрасывании игрального кубика. Какова вероятность того, что все три раза выпадет нечетное число?

Данная задача относится к теории вероятностей, в частности, к нахождению вероятности произведения независимых событий.

1. Анализ одного броска кубика
Сначала определим вероятность выпадения нечетного числа при одном подбрасывании игрального кубика.У стандартного шестигранного кубика 6 граней с числами: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Общее число возможных исходов при одном броске равно 6.Нас интересуют нечетные числа. Таких чисел на гранях кубика три: {1, 3, 5}.Количество благоприятных исходов (выпадение нечетного числа) равно 3.Вероятность ($P_{нечет}$) выпадения нечетного числа при одном броске равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$P_{нечет} = \frac{число \ благоприятных \ исходов}{общее \ число \ исходов} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

2. Анализ трех последовательных бросков
События, состоящие в выпадении определенного числа на кубике при каждом из трех бросков, являются независимыми. Это означает, что результат одного броска никак не влияет на результат другого.Вероятность того, что произойдет несколько независимых событий, равна произведению вероятностей каждого из этих событий.Нам нужно найти вероятность того, что нечетное число выпадет при первом броске, И при втором, И при третьем.Обозначим искомую вероятность как $P$.$P = P_{нечет \ (1-й \ бросок)} \cdot P_{нечет \ (2-й \ бросок)} \cdot P_{нечет \ (3-й \ бросок)}$Так как вероятность выпадения нечетного числа для каждого броска одинакова и равна $1/2$, получаем:$P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

Также задачу можно решить комбинаторным методом.Общее число всех возможных комбинаций при трех бросках кубика составляет $6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216$.Число благоприятных комбинаций (когда все три раза выпадает одно из трех нечетных чисел) составляет $3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3 = 27$.Тогда искомая вероятность равна:$P = \frac{число \ благоприятных \ комбинаций}{общее \ число \ комбинаций} = \frac{27}{216}$Сокращая дробь на 27, получаем:$P = \frac{1}{8}$

Оба метода дают один и тот же результат. Вероятность того, что все три раза выпадет нечетное число, составляет $1/8$ или 0.125.

Ответ: $1/8$.

3. В каждом из трех ящиков имеется по 12 изделий. В первом ящике из 12 деталей 2 являются бракованными. Во втором и третьем ящиках находится соответственно 1 и 3 бракованных изделия. Из ящиков достали по одной детали. Какова вероятность того, что:

a) все три детали оказались бракованными;

б) все детали оказались без брака;

в) деталь из первого ящика оказалась бракованной, а две другие оказались без брака;

г) среди трех деталей ровно одна оказалась бракованной?

Для решения задачи определим вероятности извлечения бракованной и качественной (без брака) детали из каждого ящика. Всего в каждом ящике находится 12 деталей.

Ящик 1: 2 бракованных, 10 качественных деталей.
Вероятность извлечь бракованную деталь: $P(Б_1) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
Вероятность извлечь качественную деталь: $P(К_1) = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

Ящик 2: 1 бракованная, 11 качественных деталей.
Вероятность извлечь бракованную деталь: $P(Б_2) = \frac{1}{12}$.
Вероятность извлечь качественную деталь: $P(К_2) = \frac{11}{12}$.

Ящик 3: 3 бракованных, 9 качественных деталей.
Вероятность извлечь бракованную деталь: $P(Б_3) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
Вероятность извлечь качественную деталь: $P(К_3) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.

Извлечение детали из каждого ящика является независимым событием, поэтому для нахождения вероятности совместного наступления нескольких событий мы будем перемножать их вероятности.

а) все три детали оказались бракованными;

Вероятность этого события равна произведению вероятностей извлечения бракованной детали из каждого ящика.

$P(А) = P(Б_1) \cdot P(Б_2) \cdot P(Б_3) = \frac{2}{12} \cdot \frac{1}{12} \cdot \frac{3}{12} = \frac{6}{1728} = \frac{1}{288}$.

Ответ: $\frac{1}{288}$.

б) все детали оказались без брака;

Вероятность этого события равна произведению вероятностей извлечения качественной детали из каждого ящика.

$P(Б) = P(К_1) \cdot P(К_2) \cdot P(К_3) = \frac{10}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{9}{12} = \frac{990}{1728} = \frac{55}{96}$.

Ответ: $\frac{55}{96}$.

в) деталь из первого ящика оказалась бракованной, а две другие оказались без брака;

Вероятность данного события равна произведению вероятности извлечения бракованной детали из первого ящика и вероятностей извлечения качественных деталей из второго и третьего ящиков.

$P(В) = P(Б_1) \cdot P(К_2) \cdot P(К_3) = \frac{2}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{9}{12} = \frac{198}{1728} = \frac{11}{96}$.

Ответ: $\frac{11}{96}$.

г) среди трех деталей ровно одна оказалась бракованной?

Это сложное событие, которое является суммой трех несовместных (взаимоисключающих) событий:
1. Бракованная деталь из первого ящика, а из второго и третьего – качественные (событие $C_1$).
2. Качественная из первого, бракованная из второго, качественная из третьего (событие $C_2$).
3. Качественные из первого и второго, бракованная из третьего (событие $C_3$).
Искомая вероятность $P(Г)$ равна сумме вероятностей этих трех событий: $P(Г) = P(C_1) + P(C_2) + P(C_3)$.

Вычислим вероятность каждого события:
$P(C_1) = P(Б_1) \cdot P(К_2) \cdot P(К_3) = \frac{2}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{9}{12} = \frac{198}{1728}$.
$P(C_2) = P(К_1) \cdot P(Б_2) \cdot P(К_3) = \frac{10}{12} \cdot \frac{1}{12} \cdot \frac{9}{12} = \frac{90}{1728}$.
$P(C_3) = P(К_1) \cdot P(К_2) \cdot P(Б_3) = \frac{10}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{3}{12} = \frac{330}{1728}$.

Теперь сложим эти вероятности:
$P(Г) = \frac{198}{1728} + \frac{90}{1728} + \frac{330}{1728} = \frac{198 + 90 + 330}{1728} = \frac{618}{1728}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 6:
$P(Г) = \frac{618 \div 6}{1728 \div 6} = \frac{103}{288}$.

Ответ: $\frac{103}{288}$.

4. (3) Два стрелка соревнуются по стрельбе из лука. Вероятность попадания первый стрелок в цель равна 0,8; вероятность попадания второго стрелка в цель равна 0,9. Если каждый из стрелков сделает по одному выстрелу, то какова вероятность того, что:

а) оба стрелка попадут в цель;

б) первый попадет в цель;

в) попадет только второй;

г) оба стрелка промахнутся?

а) оба стрелка попадут в цель; Обозначим вероятность попадания первого стрелка как $P_1 = 0,8$, а второго — как $P_2 = 0,9$. Так как выстрелы являются независимыми событиями, вероятность того, что оба попадут в цель, равна произведению их вероятностей: $P = P_1 \cdot P_2 = 0,8 \cdot 0,9 = 0,72$.

Ответ: 0,72

б) первый попадет в цель; Вероятность этого события дана в условии задачи и не зависит от результата выстрела второго стрелка. Вероятность попадания первого стрелка составляет $P_1 = 0,8$.

Ответ: 0,8

в) попадет только второй; Это событие означает, что первый стрелок промахнулся, а второй попал. Вероятность промаха первого стрелка равна $1 - P_1 = 1 - 0,8 = 0,2$. Вероятность того, что попадет только второй, равна произведению вероятности промаха первого и вероятности попадания второго: $P = (1 - P_1) \cdot P_2 = 0,2 \cdot 0,9 = 0,18$.

Ответ: 0,18

г) оба стрелка промахнутся? Это событие означает, что оба стрелка промахнулись. Вероятность промаха для первого стрелка равна $1 - P_1 = 1 - 0,8 = 0,2$, а для второго — $1 - P_2 = 1 - 0,9 = 0,1$. Искомая вероятность равна произведению этих двух вероятностей: $P = (1 - P_1) \cdot (1 - P_2) = 0,2 \cdot 0,1 = 0,02$.

Ответ: 0,02

5. (4) Для того, чтобы стать участником заключительного этапа Кубка мира, спортсмену необходимо принять участие в трех независимых отборочных этапах. Вероятность того, что спортсмен станет победителем первого из этих трех этапов, равна $0.8$. Каждый следующий этап сложнее предыдущих, поэтому вероятность победить каждый раз уменьшается на $0.1$. Участие во втором и третьем этапах не зависит от результатов выступления на предыдущих. Какова вероятность того, что:

а) спортсмен станет победителем во всех трех отборочных этапах;

б) спортсмен станет победителем только во втором и третьем этапах;

в) спортсмен не станет победителем ни в одном из этапов;

г) спортсмен станет победителем в каких-то двух из трех этапов?

Для решения задачи сначала определим вероятности победы для каждого из трех этапов. Пусть $P_1, P_2, P_3$ — это вероятности победы в первом, втором и третьем этапах соответственно.

По условию, вероятность победы в первом этапе: $P_1 = 0,8$.

Вероятность победить в каждом следующем этапе уменьшается на 0,1:

Вероятность победы во втором этапе: $P_2 = P_1 - 0,1 = 0,8 - 0,1 = 0,7$.

Вероятность победы в третьем этапе: $P_3 = P_2 - 0,1 = 0,7 - 0,1 = 0,6$.

Также определим вероятности того, что спортсмен не станет победителем в каждом из этапов. Пусть это будут $Q_1, Q_2, Q_3$:

Вероятность не победить в первом этапе: $Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0,8 = 0,2$.

Вероятность не победить во втором этапе: $Q_2 = 1 - P_2 = 1 - 0,7 = 0,3$.

Вероятность не победить в третьем этапе: $Q_3 = 1 - P_3 = 1 - 0,6 = 0,4$.

Так как события (участие в этапах) независимы, для нахождения вероятности их одновременного наступления мы будем перемножать их вероятности.

а) спортсмен станет победителем во всех трех отборочных этапах
Это событие означает, что спортсмен победит и в первом, и во втором, и в третьем этапе. Вероятность этого равна произведению вероятностей победы в каждом из этапов.
$P(А) = P_1 \times P_2 \times P_3 = 0,8 \times 0,7 \times 0,6 = 0,336$.
Ответ: 0,336

б) спортсмен станет победителем только во втором и третьем этапах
Это событие означает, что спортсмен не победит в первом этапе, но победит во втором и третьем. Вероятность этого равна произведению соответствующих вероятностей.
$P(Б) = Q_1 \times P_2 \times P_3 = 0,2 \times 0,7 \times 0,6 = 0,084$.
Ответ: 0,084

в) спортсмен не станет победителем ни в одном из этапов
Это событие означает, что спортсмен не победит ни в первом, ни во втором, ни в третьем этапе. Вероятность этого равна произведению вероятностей не победить в каждом из этапов.
$P(В) = Q_1 \times Q_2 \times Q_3 = 0,2 \times 0,3 \times 0,4 = 0,024$.
Ответ: 0,024

г) спортсмен станет победителем в каких-то двух из трех этапов
Это сложное событие, которое включает в себя три несовместных исхода:
1. Победа в 1-м и 2-м этапах, но не в 3-м: $P_1 \times P_2 \times Q_3 = 0,8 \times 0,7 \times 0,4 = 0,224$.
2. Победа в 1-м и 3-м этапах, но не во 2-м: $P_1 \times Q_2 \times P_3 = 0,8 \times 0,3 \times 0,6 = 0,144$.
3. Победа во 2-м и 3-м этапах, но не в 1-м: $Q_1 \times P_2 \times P_3 = 0,2 \times 0,7 \times 0,6 = 0,084$.
Общая вероятность равна сумме вероятностей этих трех исходов:
$P(Г) = 0,224 + 0,144 + 0,084 = 0,452$.
Ответ: 0,452