Номер 3, страница 217, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. В каждом из трех ящиков имеется по 12 изделий. В первом ящике из 12 деталей 2 являются бракованными. Во втором и третьем ящиках находится соответственно 1 и 3 бракованных изделия. Из ящиков достали по одной детали. Какова вероятность того, что:

a) все три детали оказались бракованными;

б) все детали оказались без брака;

в) деталь из первого ящика оказалась бракованной, а две другие оказались без брака;

г) среди трех деталей ровно одна оказалась бракованной?

Для решения задачи определим вероятности извлечения бракованной и качественной (без брака) детали из каждого ящика. Всего в каждом ящике находится 12 деталей.

Ящик 1: 2 бракованных, 10 качественных деталей.
Вероятность извлечь бракованную деталь: $P(Б_1) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
Вероятность извлечь качественную деталь: $P(К_1) = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

Ящик 2: 1 бракованная, 11 качественных деталей.
Вероятность извлечь бракованную деталь: $P(Б_2) = \frac{1}{12}$.
Вероятность извлечь качественную деталь: $P(К_2) = \frac{11}{12}$.

Ящик 3: 3 бракованных, 9 качественных деталей.
Вероятность извлечь бракованную деталь: $P(Б_3) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
Вероятность извлечь качественную деталь: $P(К_3) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.

Извлечение детали из каждого ящика является независимым событием, поэтому для нахождения вероятности совместного наступления нескольких событий мы будем перемножать их вероятности.

а) все три детали оказались бракованными;

Вероятность этого события равна произведению вероятностей извлечения бракованной детали из каждого ящика.

$P(А) = P(Б_1) \cdot P(Б_2) \cdot P(Б_3) = \frac{2}{12} \cdot \frac{1}{12} \cdot \frac{3}{12} = \frac{6}{1728} = \frac{1}{288}$.

Ответ: $\frac{1}{288}$.

б) все детали оказались без брака;

Вероятность этого события равна произведению вероятностей извлечения качественной детали из каждого ящика.

$P(Б) = P(К_1) \cdot P(К_2) \cdot P(К_3) = \frac{10}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{9}{12} = \frac{990}{1728} = \frac{55}{96}$.

Ответ: $\frac{55}{96}$.

в) деталь из первого ящика оказалась бракованной, а две другие оказались без брака;

Вероятность данного события равна произведению вероятности извлечения бракованной детали из первого ящика и вероятностей извлечения качественных деталей из второго и третьего ящиков.

$P(В) = P(Б_1) \cdot P(К_2) \cdot P(К_3) = \frac{2}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{9}{12} = \frac{198}{1728} = \frac{11}{96}$.

Ответ: $\frac{11}{96}$.

г) среди трех деталей ровно одна оказалась бракованной?

Это сложное событие, которое является суммой трех несовместных (взаимоисключающих) событий:
1. Бракованная деталь из первого ящика, а из второго и третьего – качественные (событие $C_1$).
2. Качественная из первого, бракованная из второго, качественная из третьего (событие $C_2$).
3. Качественные из первого и второго, бракованная из третьего (событие $C_3$).
Искомая вероятность $P(Г)$ равна сумме вероятностей этих трех событий: $P(Г) = P(C_1) + P(C_2) + P(C_3)$.

Вычислим вероятность каждого события:
$P(C_1) = P(Б_1) \cdot P(К_2) \cdot P(К_3) = \frac{2}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{9}{12} = \frac{198}{1728}$.
$P(C_2) = P(К_1) \cdot P(Б_2) \cdot P(К_3) = \frac{10}{12} \cdot \frac{1}{12} \cdot \frac{9}{12} = \frac{90}{1728}$.
$P(C_3) = P(К_1) \cdot P(К_2) \cdot P(Б_3) = \frac{10}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{3}{12} = \frac{330}{1728}$.

Теперь сложим эти вероятности:
$P(Г) = \frac{198}{1728} + \frac{90}{1728} + \frac{330}{1728} = \frac{198 + 90 + 330}{1728} = \frac{618}{1728}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 6:
$P(Г) = \frac{618 \div 6}{1728 \div 6} = \frac{103}{288}$.

Ответ: $\frac{103}{288}$.