Номер 14, страница 211, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

14. Вычислите значение выражения: $(1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})\dots(1 - \frac{1}{50^2})$

Данное выражение представляет собой произведение, которое можно записать в виде $\prod_{n=2}^{50} (1 - \frac{1}{n^2})$.

Для решения задачи преобразуем общий член произведения $1 - \frac{1}{n^2}$, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$1 - \frac{1}{n^2} = (1 - \frac{1}{n})(1 + \frac{1}{n})$

Теперь приведем каждую скобку к общему знаменателю:

$(1 - \frac{1}{n})(1 + \frac{1}{n}) = \left(\frac{n-1}{n}\right) \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right) = \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}$

Подставим это преобразование в исходное выражение. Получим произведение дробей:

$(1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})\dots(1 - \frac{1}{50^2}) = \frac{(2-1)(2+1)}{2^2} \cdot \frac{(3-1)(3+1)}{3^2} \cdot \frac{(4-1)(4+1)}{4^2} \cdot \dots \cdot \frac{(50-1)(50+1)}{50^2}$

Распишем произведение, подставив численные значения:

$\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdot \dots \cdot \frac{49 \cdot 51}{50 \cdot 50}$

Для удобства сгруппируем множители. Это можно представить как произведение двух рядов дробей:

$\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{49}{50}\right) \cdot \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \dots \cdot \frac{51}{50}\right)$

Это так называемое "телескопическое произведение", в котором промежуточные члены сокращаются. Вычислим значение для каждой скобки отдельно.

Первая скобка:

$\frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \dots \cdot \frac{\cancel{49}}{50} = \frac{1}{50}$

Вторая скобка:

$\frac{\cancel{3}}{2} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{4}} \cdot \dots \cdot \frac{51}{\cancel{50}} = \frac{51}{2}$

Теперь перемножим результаты двух скобок, чтобы получить окончательный ответ:

$\frac{1}{50} \cdot \frac{51}{2} = \frac{51}{100}$

Ответ: $\frac{51}{100}$