Номер 12, страница 211, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. В круге с центром в точке $O$ провели радиусы $OA$ и $OB$, угол между которыми равен $60^\circ$. Какова вероятность того, что произвольная точка круга окажется внутри малого сегмента, отделяемого отрезком $AB$?

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность того, что произвольная точка круга окажется внутри некоторой фигуры, равна отношению площади этой фигуры к площади всего круга.

1. Найдем площадь всего круга.
Пусть радиус круга равен $R$. Тогда площадь круга $S_{кр}$ вычисляется по формуле:$S_{кр} = \pi R^2$.

2. Найдем площадь малого сегмента, отделяемого отрезком AB.
Площадь сегмента ($S_{сегм}$) равна разности площади сектора $AOB$ ($S_{сект}$) и площади треугольника $AOB$ ($S_{\triangle AOB}$).$S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle AOB}$.

2.1. Площадь сектора AOB.
Центральный угол сектора $\angle AOB = 60^{\circ}$. Это составляет $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$ от полного круга.Следовательно, площадь сектора равна:$S_{сект} = \frac{60}{360} \cdot S_{кр} = \frac{1}{6} \pi R^2$.

2.2. Площадь треугольника AOB.
Треугольник $AOB$ образован двумя радиусами $OA$ и $OB$ и хордой $AB$. Так как $OA = OB = R$, треугольник является равнобедренным. Угол между равными сторонами $\angle AOB = 60^{\circ}$. В равнобедренном треугольнике с углом при вершине $60^{\circ}$ углы при основании также равны $(180^{\circ} - 60^{\circ})/2 = 60^{\circ}$. Таким образом, треугольник $AOB$ является равносторонним со стороной $R$.Площадь треугольника можно найти по формуле:$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} R \cdot R \cdot \sin(60^{\circ}) = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} R^2$.

2.3. Площадь сегмента.
Теперь вычтем площадь треугольника из площади сектора:$S_{сегм} = \frac{1}{6} \pi R^2 - \frac{\sqrt{3}}{4} R^2 = R^2 \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$.

3. Найдем искомую вероятность.
Вероятность $P$ равна отношению площади сегмента к площади круга:$P = \frac{S_{сегм}}{S_{кр}} = \frac{R^2 \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)}{\pi R^2}$.

Сократив $R^2$, получим:$P = \frac{\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}}{\pi} = \frac{\pi}{6\pi} - \frac{\sqrt{3}}{4\pi} = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4\pi}$.

Ответ: $\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4\pi}$.