Номер 9, страница 211, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. В правильный треугольник вписан круг. В треугольник наудачу бросают точку. Какова вероятность того, что брошенная точка окажется внутри круга? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

Данная задача относится к классу задач на геометрическую вероятность. Вероятность того, что случайно брошенная в треугольник точка попадет внутрь вписанного круга, равна отношению площади этого круга к площади треугольника.

Пусть $P$ — искомая вероятность, $S_{\text{круга}}$ — площадь вписанного круга, а $S_{\text{треуг}}$ — площадь правильного треугольника. Тогда:

$P = \frac{S_{\text{круга}}}{S_{\text{треуг}}}$

Для решения задачи найдем выражения для площадей обеих фигур. Пусть сторона правильного треугольника равна $a$.

1. Площадь правильного треугольника.

Площадь правильного (равностороннего) треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\text{треуг}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Площадь вписанного круга.

Сначала найдем радиус $r$ вписанного круга. Для правильного треугольника радиус вписанной окружности связан с его стороной $a$ формулой:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Теперь можем найти площадь круга по формуле $S = \pi r^2$:

$S_{\text{круга}} = \pi \cdot \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{a^2}{4 \cdot 3} = \frac{\pi a^2}{12}$

3. Вычисление вероятности.

Подставим найденные выражения для площадей в формулу вероятности:

$P = \frac{S_{\text{круга}}}{S_{\text{треуг}}} = \frac{\frac{\pi a^2}{12}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}$

Как видно, величина $a^2$ сокращается, то есть вероятность не зависит от размера треугольника.

$P = \frac{\pi}{12} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\pi}{12\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$

4. Численный расчет и округление.

Для получения конечного ответа вычислим значение этого выражения, используя приближенные значения $\pi \approx 3.14159$ и $\sqrt{3} \approx 1.73205$.

$P \approx \frac{3.14159}{3 \cdot 1.73205} = \frac{3.14159}{5.19615} \approx 0.604599...$

Округляем результат до 3-го знака после запятой. Так как четвертая цифра после запятой равна 5, то третью цифру (4) увеличиваем на единицу.

$P \approx 0.605$

Ответ: 0.605