Номер 11, страница 211, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 и катетом 5 вписан круг.

а) Какова вероятность, что произвольная точка треугольника окажется внутренней точкой круга? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

б) Какова вероятность, что произвольная точка треугольника не окажется внутренней точкой круга? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

Для решения этой задачи по геометрической вероятности нам необходимо найти отношение площади вписанного круга к площади треугольника. Это отношение и будет искомой вероятностью.

Сначала найдем все параметры треугольника. Нам дан прямоугольный треугольник с гипотенузой $c = 13$ и одним из катетов, пусть это будет $a = 5$.

Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$5^2 + b^2 = 13^2$

$25 + b^2 = 169$

$b^2 = 169 - 25 = 144$

$b = \sqrt{144} = 12$

Теперь мы знаем оба катета: $a=5$ и $b=12$.

Площадь прямоугольного треугольника ($S_{тр}$) вычисляется по формуле:

$S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$

Далее найдем радиус ($r$) вписанного в прямоугольный треугольник круга. Для этого существует специальная формула:

$r = \frac{a+b-c}{2}$

$r = \frac{5+12-13}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь можем найти площадь вписанного круга ($S_{кр}$):

$S_{кр} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$

Теперь у нас есть все данные для вычисления вероятностей.

а) Какова вероятность, что произвольная точка треугольника окажется внутренней точкой круга? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

Вероятность ($P_a$) того, что случайная точка, взятая внутри треугольника, окажется также внутри вписанного круга, равна отношению площади круга к площади треугольника:

$P_a = \frac{S_{кр}}{S_{тр}} = \frac{4\pi}{30} = \frac{2\pi}{15}$

Для получения численного ответа подставим значение $\pi \approx 3.14159...$:

$P_a \approx \frac{2 \cdot 3.14159}{15} \approx 0.418879...$

Округляя до 3-го знака после запятой, получаем 0.419.

Ответ: 0.419

б) Какова вероятность, что произвольная точка треугольника не окажется внутренней точкой круга? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

Событие, при котором точка не оказывается внутри круга, является противоположным событию из пункта (а). Вероятность такого события ($P_б$) можно найти, вычтя вероятность из пункта (а) из единицы:

$P_б = 1 - P_a = 1 - \frac{2\pi}{15}$

Используя вычисленное ранее значение $P_a$:

$P_б \approx 1 - 0.418879... \approx 0.581121...$

Округляя до 3-го знака после запятой, получаем 0.581.

Ответ: 0.581