Страница 210, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1. На отрезок $[-3;3]$ числовой оси наугад бросают точку. Какова вероятность того, что точка упадет на множество решений неравенства $|x-1|\le1$?

1. Эта задача относится к геометрическому определению вероятности. Вероятность события равна отношению меры (в данном случае — длины) благоприятствующего множества к мере всего пространства элементарных исходов.

Сначала определим пространство элементарных исходов. Это отрезок $[-3; 3]$ на числовой оси. Найдем его длину $L$:

$L = 3 - (-3) = 3 + 3 = 6$.

Далее, найдем множество, попадание в которое является благоприятным исходом. Это множество решений неравенства $|x-1| \leq 1$.

Решим данное неравенство. Неравенство вида $|a| \leq b$ (где $b \geq 0$) равносильно системе неравенств или двойному неравенству $-b \leq a \leq b$.

Применительно к нашей задаче:

$-1 \leq x - 1 \leq 1$

Чтобы найти $x$, прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства:

$-1 + 1 \leq x - 1 + 1 \leq 1 + 1$

$0 \leq x \leq 2$

Таким образом, множество решений — это отрезок $[0; 2]$. Найдем его длину $l$:

$l = 2 - 0 = 2$.

Множество благоприятных исходов $[0; 2]$ является подмножеством всего пространства исходов $[-3; 3]$.

Теперь можем вычислить искомую вероятность $P$ как отношение длины благоприятствующего отрезка к длине всего отрезка:

$P = \frac{l}{L} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2. На тригонометрической окружности отметили дугу, соответствующую решениям неравенства $sin x \geq \frac{1}{2}$. Какова вероятность того, что наугад указанное число x принадлежит отмеченной дуге?

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность того, что наугад выбранное число $x$ принадлежит отмеченной дуге, равна отношению длины этой дуги к длине всей тригонометрической окружности.

1. Найдем длину всей окружности.
Длина всей тригонометрической окружности, соответствующая полному обороту, равна $2\pi$ радиан.

2. Найдем длину отмеченной дуги.
Отмеченная дуга соответствует решениям неравенства $\sin x \ge \frac{1}{2}$.
Сначала найдем корни уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$ на одном обороте окружности (на промежутке $[0, 2\pi)$).
Этими корнями являются $x_1 = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Неравенство $\sin x \ge \frac{1}{2}$ выполняется для всех углов $x$, расположенных на дуге между точками $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$ включительно. Таким образом, решения неравенства на одном обороте образуют промежуток $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$.
Длина этой дуги вычисляется как разность ее конечной и начальной точек:
$L_{дуги} = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

3. Вычислим вероятность.
Вероятность $P$ равна отношению длины отмеченной дуги к длине всей окружности:
$P = \frac{L_{дуги}}{L_{окружности}} = \frac{2\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3. Правильный треугольник вписан в круг. В круг наугад бросают точку.

Какова вероятность того, что брошенная точка окажется внутри треугольника? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

Данная задача относится к классу задач на геометрическую вероятность. Вероятность события, в данном случае — попадания точки в треугольник, определяется как отношение площади благоприятствующей этому событию области к площади всей области.

Площадь всей области — это площадь круга ($S_{круга}$).

Площадь благоприятствующей области — это площадь вписанного правильного треугольника ($S_{треуг}$).

Искомая вероятность $P$ равна:

$P = \frac{S_{треуг}}{S_{круга}}$

Пусть радиус круга равен $R$. Тогда площадь круга вычисляется по формуле:

$S_{круга} = \pi R^2$

Для нахождения площади вписанного правильного треугольника сначала выразим его сторону $a$ через радиус описанной окружности $R$. Для правильного треугольника эта связь выражается формулой:

$a = R\sqrt{3}$

Площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна:

$S_{треуг} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим в эту формулу выражение для стороны $a$ через $R$:

$S_{треуг} = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{R^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$

Теперь мы можем найти вероятность $P$, подставив выражения для площадей в исходную формулу:

$P = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2}{\pi R^2}$

Величина $R^2$ сокращается, что означает, что вероятность не зависит от размера круга:

$P = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$

Осталось вычислить численное значение и округлить его с точностью до 3-го знака после запятой. Используем приближенные значения $\sqrt{3} \approx 1.73205$ и $\pi \approx 3.14159$.

$P \approx \frac{3 \cdot 1.73205}{4 \cdot 3.14159} \approx \frac{5.19615}{12.56636} \approx 0.413496...$

Округляя до третьего знака после запятой, получаем 0.413.

Ответ: 0.413

4. Круг вписан в квадрат. В квадрат наугад бросают точку. Какова вероятность того, точка окажется внутри круга? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность $P$ события, заключающегося в попадании случайно брошенной точки в некоторую область, равна отношению площади этой области ($S_{благоприятная}$) к площади всей области, в которую может попасть точка ($S_{общая}$).

$P = \frac{S_{благоприятная}}{S_{общая}}$

В нашем случае общая область — это квадрат, а благоприятная область — это вписанный в него круг.

Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда его площадь $S_{квадрата}$ равна:$S_{квадрата} = a^2$

Так как круг вписан в квадрат, его диаметр равен стороне квадрата: $d = a$. Следовательно, радиус круга $r$ равен половине стороны квадрата:$r = \frac{a}{2}$

Площадь круга $S_{круга}$ вычисляется по формуле:$S_{круга} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$

Теперь можем найти вероятность попадания точки внутрь круга, разделив площадь круга на площадь квадрата:$P = \frac{S_{круга}}{S_{квадрата}} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{a^2} = \frac{\pi}{4}$

Для вычисления численного значения используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159...$$P = \frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14159...}{4} \approx 0.78539...$

Согласно условию, ответ необходимо округлить до 3-го знака после запятой. Четвертый знак после запятой — это 3, поэтому округляем в меньшую сторону.

Ответ: 0,785

5. Прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 и катетом 5 вписан в круг.

а) Какова вероятность, что произвольная точка круга окажется внутренней точкой треугольника? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

б) Какова вероятность, что произвольная точка круга не окажется внутренней точкой треугольника? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

а) Какова вероятность, что произвольная точка круга окажется внутренней точкой треугольника? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

Для решения задачи по геометрической вероятности необходимо найти отношение площади "благоприятной" области (треугольника) к площади всей области (круга). Вероятность $P$ вычисляется по формуле:

$P = \frac{S_{треугольника}}{S_{круга}}$

1. Найдем площадь треугольника.

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой $c = 13$ и одним из катетов $a = 5$. Второй катет $b$ можно найти по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$5^2 + b^2 = 13^2$

$25 + b^2 = 169$

$b^2 = 169 - 25 = 144$

$b = \sqrt{144} = 12$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$

2. Найдем площадь круга.

Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, его гипотенуза является диаметром этой окружности. Таким образом, диаметр круга $d = 13$.

Радиус круга $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$:

$S_{круга} = \pi \cdot (6.5)^2 = 42.25\pi$

3. Вычислим вероятность.

Теперь мы можем найти вероятность, разделив площадь треугольника на площадь круга:

$P = \frac{30}{42.25\pi} \approx \frac{30}{42.25 \cdot 3.14159} \approx \frac{30}{132.7322} \approx 0.22599...$

Округляя результат до третьего знака после запятой, получаем 0.226.

Ответ: 0.226

б) Какова вероятность, что произвольная точка круга не окажется внутренней точкой треугольника? Ответ найдите с точностью до 3-го знака после запятой.

Событие, при котором точка не окажется внутри треугольника, является противоположным событию, рассмотренному в пункте а). Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Обозначим искомую вероятность как $P'$.

$P' = 1 - P$

Где $P$ — это вероятность того, что точка окажется внутри треугольника, вычисленная ранее.

$P' \approx 1 - 0.22599... \approx 0.77400...$

Округляя результат до третьего знака после запятой, получаем 0.774.

Ответ: 0.774

6. В круге с центром в точке O провели радиусы OA и OB, угол между которыми равен $60^\circ$. Какова вероятность того, что произвольная точка круга окажется внутри сектора AOB, центральный угол которого равен $60^\circ$?

6.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае площади) благоприятствующей области к мере всей области возможных исходов.

Областью всех возможных исходов является весь круг. Обозначим его площадь как $S_{круга}$.

Областью благоприятствующих исходов является сектор AOB. Обозначим его площадь как $S_{сектора}$.

Пусть радиус круга равен $R$. Тогда площадь всего круга вычисляется по формуле: $S_{круга} = \pi R^2$.

Площадь сектора круга с центральным углом $\alpha$ вычисляется по формуле: $S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360°}$.

По условию задачи, центральный угол сектора AOB равен $\alpha = 60°$. Подставим это значение в формулу площади сектора: $S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \cdot 60°}{360°} = \frac{\pi R^2}{6}$.

Вероятность $P$ того, что произвольная точка круга окажется внутри сектора AOB, равна отношению площади сектора к площади всего круга: $P = \frac{S_{сектора}}{S_{круга}} = \frac{\frac{\pi R^2}{6}}{\pi R^2}$.

Сократив $\pi R^2$, получаем: $P = \frac{1}{6}$.

Можно также рассуждать проще. Поскольку точка выбирается произвольно, вероятность попадания в сектор пропорциональна доле, которую этот сектор занимает от всего круга. Эта доля равна отношению центрального угла сектора к полному углу круга ($360°$).

$P = \frac{\text{угол сектора}}{\text{полный угол круга}} = \frac{60°}{360°} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.