Номер 10, страница 205, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Все шары окажутся разноцветными.

10. Три пассажира сели в автобус, у которого по маршруту впереди еще 8 остановок. Какова вероятность того, что:

а) все три пассажира выйдут на одной и той же остановке;

б) все три пассажира выйдут на разных остановках?

в) двое выйдут на одной остановке, а третий выйдет на другой?

Для решения задачи воспользуемся классической формулой вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

У нас есть 3 пассажира и 8 остановок. Каждый пассажир может выйти на любой из 8 остановок независимо от других. Таким образом, общее число всех возможных исходов $n$ можно найти как число размещений с повторениями из 8 элементов по 3:

$n = 8 \times 8 \times 8 = 8^3 = 512$.

а) все три пассажира выйдут на одной и той же остановке;

Пусть событие А заключается в том, что все пассажиры выходят на одной остановке. Благоприятным исходом будет выбор одной общей остановки для всех троих. Так как всего остановок 8, то и способов выбрать такую остановку тоже 8.

Число благоприятствующих исходов $m_a = 8$.

Вероятность события А равна:

$P(A) = \frac{m_a}{n} = \frac{8}{512} = \frac{1}{64}$.

Ответ: $\frac{1}{64}$.

б) все три пассажира выйдут на разных остановках?

Пусть событие Б заключается в том, что все пассажиры выходят на разных остановках. Найдем число благоприятствующих этому событию исходов $m_б$.

Первый пассажир может выбрать любую из 8 остановок.

Второй пассажир, чтобы выйти на другой остановке, может выбрать любую из оставшихся 7.

Третий пассажир может выбрать любую из оставшихся 6 остановок.

Число таких комбинаций равно числу размещений без повторений из 8 по 3:

$m_б = A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$.

Вероятность события Б равна:

$P(Б) = \frac{m_б}{n} = \frac{336}{512} = \frac{42}{64} = \frac{21}{32}$.

Ответ: $\frac{21}{32}$.

в) двое выйдут на одной остановке, а третий выйдет на другой?

Пусть событие В заключается в том, что двое выходят на одной остановке, а третий — на другой.

Способ 1: Прямой подсчет.

1. Сначала выберем двух пассажиров из трех, которые выйдут вместе. Это можно сделать $C_3^2$ способами: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$ способа.

2. Затем выберем остановку для этой пары. Есть 8 вариантов.

3. Оставшийся пассажир должен выйти на другой остановке. Для него остается 7 вариантов выбора.

Общее число благоприятствующих исходов $m_в$ равно произведению этих вариантов:

$m_в = C_3^2 \times 8 \times 7 = 3 \times 56 = 168$.

Вероятность события В равна:

$P(В) = \frac{m_в}{n} = \frac{168}{512}$. Сократив дробь на 8, получаем $\frac{21}{64}$.

Способ 2: Использование суммы вероятностей.

События а), б) и в) являются несовместными и образуют полную группу, то есть одно из них обязательно произойдет. Сумма их вероятностей равна 1.

$P(A) + P(Б) + P(В) = 1$.

Отсюда можно выразить вероятность события В:

$P(В) = 1 - P(A) - P(Б) = 1 - \frac{1}{64} - \frac{21}{32} = 1 - \frac{1}{64} - \frac{42}{64} = \frac{64 - 1 - 42}{64} = \frac{21}{64}$.

Оба способа дают один и тот же результат.

Ответ: $\frac{21}{64}$.