Номер 9, страница 204, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. В коробке 9 шаров: 3 красных, 3 желтых и 3 зеленых. Наудачу вынимаются три из них. Определите вероятность того, что:

а) все три шара окажутся одного цвета;

б) два шара окажутся красными и один – зеленым;

в) все шары окажутся разноцветными.

Для решения задачи используется классическое определение вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.Сначала найдем общее число способов вынуть 3 шара из 9. Это число сочетаний из 9 по 3, которое вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число исходов: $n = C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$.

а) все три шара окажутся одного цвета;
Это событие произойдет, если будут вынуты либо 3 красных, либо 3 желтых, либо 3 зеленых шара. Число способов вынуть 3 шара одного цвета из 3-х имеющихся шаров этого цвета равно $C_3^3 = 1$. Так как у нас три цвета, общее число благоприятных исходов $m_a$ равно сумме исходов для каждого цвета: $m_a = C_3^3 + C_3^3 + C_3^3 = 1 + 1 + 1 = 3$.Вероятность этого события: $P(A) = \frac{m_a}{n} = \frac{3}{84} = \frac{1}{28}$.
Ответ: $\frac{1}{28}$.

б) два шара окажутся красными и один - зеленым;
Число благоприятных исходов $m_б$ равно произведению числа способов выбрать 2 красных шара из 3 и числа способов выбрать 1 зеленый шар из 3.Число способов выбрать 2 красных шара из 3: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$.Число способов выбрать 1 зеленый шар из 3: $C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = 3$.По правилу произведения в комбинаторике, общее число благоприятных исходов равно: $m_б = C_3^2 \cdot C_3^1 = 3 \cdot 3 = 9$.Вероятность этого события: $P(Б) = \frac{m_б}{n} = \frac{9}{84} = \frac{3}{28}$.
Ответ: $\frac{3}{28}$.

в) все шары окажутся разноцветными.
Это событие произойдет, если будет вынут 1 красный, 1 желтый и 1 зеленый шар. Число благоприятных исходов $m_в$ равно произведению числа способов выбрать по одному шару каждого цвета.Число способов выбрать 1 красный шар из 3: $C_3^1 = 3$.Число способов выбрать 1 желтый шар из 3: $C_3^1 = 3$.Число способов выбрать 1 зеленый шар из 3: $C_3^1 = 3$.Общее число благоприятных исходов: $m_в = C_3^1 \cdot C_3^1 \cdot C_3^1 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.Вероятность этого события: $P(В) = \frac{m_в}{n} = \frac{27}{84} = \frac{9}{28}$.
Ответ: $\frac{9}{28}$.